Теорема о трех перпендикулярах

Конспект

урока геометрии в 10 классе

по теме «Теорема о трех перпендикулярах»

Цели:

Образовательные - доказать теорему о трех перпендикулярах; показать применение этой теоремы при решении задач, обеспечить восприятие учебного материала с помощью презентации.

Развивающие- развивать речь, внимание, аккуратность, самостоятельность мышления; навыки формулирования выводов.

Воспитательные- содействовать воспитанию интереса к математике, умению четко организовать работу.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Технологии: информационные технологии.

Оборудование: компьютер, экран, проектор мультимедийный, раздаточные карточки.

Содержание:

- Повторение определения и признака перпендикулярности прямой и плоскости, понятия перпендикуляра, наклонной к плоскости, проекции на плоскость данной наклонной.

- Доказательство теоремы о трех перпендикулярах.

- Обратная теорема.

- Решение задачи на закрепление.

- Самостоятельная работа.

Ход урока: (Оформление доски)

«Вдохновение нужно в геометрии не

меньше, чем в поэзии»

А.С.Пушкин

Актуализация опорных знаний.

- Сегодня на уроке мы докажем теорему о трех перпендикулярах и будем применять ее при решении задач. Но прежде, чем перейти к новой теме, повторим изученный материал. Решим устно несколько задач. На каждом чертеже назовите наклонные, их проекции на плоскость, перпендикуляры.

/Слайды 1-6/

Изучение нового материала.

- Сформулируйте доказанное утверждение последней задачи с помощью слов: проекция, наклонная, прямая.

/Слайд 7/

- Тема урока-«Теорема о трех перпендикулярах», запишите в тетрадь.

/Слайд 8/

- Обратите внимание на то, что прямая, перпендикулярная проекции, проходит через основание наклонной.

- Докажем эту теорему.

/Слайд 9/

- Доказанная теорема называется прямой, справедлива и обратная теорема.

/Слайд 10/

- Какая теорема называется обратной данной?

- Сформулируйте теорему, обратную данной. Докажите самостоятельно дома.

Применение полученных знаний.

- А теперь решим задачу на закрепление № 148 (из учебника)

/Слайд 11/

- Обобщим то, что мы узнали о теореме

/Слайд 12/

Примените свои знания при выполнении самостоятельной работы.

/Приложение 1/

Подведение итогов занятия.

- Оценки за урок. Каждый выразите свое мнение, впечатление об уроке, продолжив строку: « Я понял, что…»

Информация о домашнем задании.

/Слайд 13/

Дано: ABCD – ромб,

FO  AC FO  BD

F

Доказать: 1) FO  (АВС)

2) АС  ( BDF)

Доказательство:

1) FO  AC

B

C

O

 FO  ( АВС )

2) FO  BD

D

A

3) АС  BD

Дано: ABCD – ромб,

FO  AC FO  BD

F

Доказать: 1) FO  (АВС)

2) АС  ( BDF)

Доказательство:

1) AC  FO

B

C

O

 AC  ( В DF )

2) АС  BD

D

A

3) FO  BD

Дано: AB   ,  ACB = 30 0

AC = 16, BD = 6

А

Найти: А D

10

8

16

Решение:

• AB    АВ  ВС 

 АВС – прямоугольный

6

30 0

В

D

С



2 )  АВС: АВ = 1 /2 АС=8

3) AB    АВ  В D   АВ D – прямоугольный ,

AD =

D

Дано: AD  (ABC),  ACB = 90 0

Доказать: 1) AD  С B

2) CB  ( ADC)

3) CB  CD

В

А

Доказательство:

1) AD  ( ABC )

С

 AD  CB

BC  ( ABC )

D

Дано: AD  (ABC),  ACB = 90 0

Доказать: 1) AD  С B

2) CB  ( ADC)

3) CB  CD

В

А

Доказательство:

2 ) CB  AD

С

 CB  ( ADC )

CB  AC

AD  AC

D

Дано: AD  (ABC),  ACB = 90 0

Доказать: 1) AD  С B

2) CB  ( ADC)

3) CB  CD

В

А

Доказательство:

3 ) CB  ( ADC )

С

 CB  CD

CD  ( ADC )

CB  AC  CB  CD

D

В

А

С

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

пл 

А

AH   , НМ – проекция

пр . а  , т.М  а

М

Н

а

а  НМ



Доказать: а  АМ

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

1) а  АН

 а  (A МН )

2) а  НМ



а  (A МН )

 а  A М



Прямая теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Дано :

пл .  , АМ – наклонная

AH   , НМ – проекция

пр . а  , т.М  а

а  НМ

Доказать :

а  АМ

Обратная теорема

А

Дано:

пл .  , АМ – наклонная

AH   , НМ – проекция

пр . а  , т.М  а

а  АМ

Доказать:

а  НМ

М

Н

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции

Решение:

АМ – медиана (СМ = МВ)

К

• АМ является

высотой

 АВС - правильный

ВС  АМ

А

В

КМ – наклонная

АМ - проекция

 ВС  КМ

М

С

CB  AC  CB  CD

D

В

А

С

п.20 № 150 а

154 а

156

Домашнее задание: