Теория вероятностей в заданиях ОГЭ и ЕГЭ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Солодчинская средняя школа» Теория вероятностей в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (обобщающий урок) Айрапетян Мери 11 класс учитель: Бессонова Ольга Викторовна

Наверно каждый выпускник мечтает, чтобы на экзамене ему попалась лёгкая задача по теории вероятностей. И не дай бог попадётся про кофе в автоматах или ковбоя Джо. Своей презентацией мы хотели показать, что теорию вероятностей может освоить каждый. Удалось нам это или нет, судить вам. В данной презентации представлены все прототипы заданий по теории вероятности, которые встречаются в ЕГЭ 11 класса и ОГЭ 9 класса. Задания разобраны простым языком, без комбинаторики и сложных формул. На основе данной презентации был сделан проект, сертификат которого подтверждает отсутствие плагиата в данной работе.

6/7/17

Антонова Г.В.

Задания на использование определения вероятности. Кирилл с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 8 – фиолетовые, 4 – зеленые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Кирилл прокатится в оранжевой кабинке. Решение. На колесе обозрения 30 – 8 – 4 =18 оранжевых кабинок. Тогда вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке равна: 18/30=6/10=0,6  Ответ: 0,6. Задания для закрепления. 1 . В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. 2 Внимание, коварная задачка ! Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 3. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. 4. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями .

6/7/17

Антонова Г.В.

В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе Решение. В классе 21 учащийся. 3 равные группы - это группы по 7 человек. Пусть Вадим находится в одной из трех групп. Тогда для Олега в группе Вадима остается 6 мест из 20 возможных. Таким образом, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе: 6:20=0,3  Ответ: 0,3. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение Для наглядности занесем данные в таблицу: День I II III IV V Всего Число док.17 17 17 12 12 75 p=12/75=0,16 Ответ: 0,16  

6/7/17

Антонова Г.В.

Задания для закрепления 1. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? 2. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. «Спрятанные» и «лишние» условия в заданиях В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж». Решение: Итак, читаем и вникаем. Нас спрашивают о конфетах. Сколько конфет было в кармане у Миши? 4. Значит, Nобщ=4. Сколько было конфет с названием «Грильяж»? Всего 1. Значит, Nбл=1. Считаем по формуле: р=𝑁бл𝑁общ=14=0,25 Ответ: 0,25

6/7/17

Антонова Г.В.

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест. Решение: Почему данная задача оказалась в этом разделе? В чем же тут лишняя информация? Размышляем вместе. Какая разница, где находятся удобные места? Разницы никакой. Главное, что они удобные. А сколько их, удобных? 12+18=30 мест. Итак, мы нашли Nбл=30. А сколько всего мест в самолете? 300. Nобщ=300. Осталась мелочь: рассчитать вероятность. р=𝑁бл/𝑁общ=30/300=0,1 Ответ: 0,1 Задания для закрепления. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

6/7/17

Антонова Г.В.

Задачи с перебором вариантов. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Варианты - ОО , ОР, РР, РО Сколько всего вариантов? 4. Это и есть Nобщ=4. Сколько из них удовлетворяет условию «орел выпал ровно 1 раз»? 2 варианта. Значит, Nбл=2. Подставляем в формулу: р=𝑁бл/𝑁общ=2/4=0,5 Ответ: 0,5 Задачи на кубики (игральные кости ) Кубик бросили дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Чтобы найти общее количество исходов, нам необходимо рассмотреть все возможные случаи выпадения двух кубиков. Для двух кубиков Nобщ=36 А вот число благоприятных исходов равно 5 (6;2),(2;6),(3;5),(5;3)(4;4). Значит, вероятность равна: р=5/36=0,13(8) Ответ: 0,13

6/7/17

Антонова Г.В.

Задачи для закрепления. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию: «А = сумма очков равна 7»? Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 9»? Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Лена выкинула 3 очка. Затем кубик бросает Саша. Найдите вероятность того, что Саша выиграет. Найдите вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет нечетное число. Найдите вероятность того, что при броске двух кубиков на обоих выпадет число, большее 3 ( подсказка: перебирайте только благоприятные варианты. Nобщ=36). Несовместные события и закон сложения. При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,981. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 64,99 мм, или больше, чем 65,01 мм. Решение: В условиях задачи сказано, что вероятность отличия диаметра подшипника НЕ больше, чем на 0,01 мм равна 0,981. Значит, вероятность отличия на 0,01 мм или больше? Противоположная. То есть, р=1-0,981=0,019.

6/7/17

Антонова Г.В.

Задания для закрепления На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем . Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. Независимые события и закон умножения. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение: Так как события независимы, а нам необходимо найти вероятность того, что будет занят И первый продавец, И второй, И третий, вероятность найдем по формуле: р=р1*р2*р3=0,6*0,6*0,6=0,216 Ответ: 0,216

6/7/17

Антонова Г.В.

Задачи для закрепления . По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух Интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что Интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадёт в точку G.

A

C

B

G

E

F

D

H

К

6/7/17

Антонова Г.В.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому

на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,

определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

6/7/17

Антонова Г.В.

.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение . Обозначим через А событие «чайник прослужит меньше двух лет, но больше года», через В событие «чайник прослужит не меньше двух лет». События А и В несовместны. Событие С «чайник прослужит больше года» является их суммой. Из условия задачи следует, что вероятности P(B) = 0,89 и P(C)=0,97. По формуле сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(C)= P(A)+P(B). Отсюда Р(A)= 0,97-0,89= 0,08. Ответ: 0,08. Задачи с применением теорем сложения и умножения вероятностей. В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали: 1) Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. 2) Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5. 3) Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2. Найдите вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

6/7/17

Антонова Г.В.

6/7/17

Антонова Г.В.

Выступление с презентацией перед выпускниками 9, 11 классов .

Использованная литература:

• Теория вероятностей в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

http://www.ctege.info/matematika-teoriya-ege/teoriya-veroyatnosti-v-zadaniyah-ege-i-oge-po-matematike-teoriya-i-praktika.html

ЕГЭ-2016: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.- Москва: АСТ: Астрель, 2016.

• А.Г.Корянов , Н.В.Надежкина. Задача В10. ЕГЭ. Математика, 2014. Элементы теории вероятностей (интернет-ресурс http://alexlarin.net/ ege /2014/b102014.html ‎)

• ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/А.Л.Семёнов, И.В.Ященко и др.; под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016.

• Источник шаблона презентации : http://pedsovet.su/load/321-1-0-32889

6/7/17

Антонова Г.В.