Трансцендентные уравнения и неравенства

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова»

(ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова»)

Институт естественных наук и математики

Кафедра МФиИТ

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

направленность (профили) математика, физика

Трансцендентные уравнения и неравенства

Выполнила:

Омельчук Галина Леонидовна

Группа МФ-31

Форма обучения очная

Абакан, 2024 г.

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Теоретические основы 6

История появления трансцендентных функций 6

Определение трансцендентного уравнения 7

Определение трансцендентного неравенства 8

Классификация и свойства трансцендентных функций 9

Примеры применения трансцендентных уравнений в науке и технике 10

Глава 2. Решения трансцендентных уравнений и неравенств 12

Методы решения трансцендентных уравнений с примерами 12

Методы решения трансцендентных неравенств с примерами 15

Анализ возникающих трудностей и ошибок 20

Заключение 23

Библиографический список 24

Введение

Актуальность

Исследование трансцендентных уравнений и неравенств имеет важное значение в различных областях науки и техники. Это помогает нам лучше понять и описать сложные явления в физике, химии, экономике и других науках. Кроме того, это имеет практическое значение для разработки алгоритмов и программного обеспечения, которые используются в различных компьютерных приложениях.

Проблематика

Тема включает ряд важных вопросов. Такие как:

1. Сложность решения: Трансцендентные уравнения и неравенства часто не имеют аналитического решения и требуют применения особых методов.

2. Вопрос существования решений трансцендентных уравнений является важным. Некоторые трансцендентные уравнения могут иметь бесконечное количество решений или не иметь решений вообще. Исследование условий существования решений является актуальной проблемой.

3. Трансцендентные уравнения и неравенства имеют широкий спектр применений в различных научных и инженерных областях. Однако иногда возникают сложности в применении трансцендентных уравнений в реальных задачах, таких как моделирование сложных физических или экономических процессов.

4. Вычислительная сложность: решение трансцендентных уравнений и неравенств может быть вычислительно сложной задачей, особенно при больших размерностях и сложных функциональных зависимостях. Разработка эффективных вычислительных методов и алгоритмов для решения таких задач является важным направлением исследований.

Проблематика темы "Трансцендентные уравнения и неравенства" подчеркивает важность дальнейших исследований и разработки новых методов для решения трансцендентных уравнений, а также их применения в различных областях науки и техники. Это позволит решать сложные задачи и получать новые результаты, которые могут быть применены в реальном мире.

Цель работы: выделить основные методы решения трансцендентных уравнений и неравенств из школьного курса математики и рассмотреть применение этих методов для решения конкретных примеров.

Задачи работы:

1. Ознакомиться с теорией по теме курсовой работы:

   1. Определение трансцендентного уравнения;

   2. Определение трансцендентного уравнения;

   3. Классификация трансцендентных функций;

   4. Свойства трансцендентных функций;

   5. Применение трансцендентных уравнений и неравенств.

2. Ознакомиться с методами решения трансцендентных уравнений и неравенств:

   1. Методы решения трансцендентных уравнений;

   2. Методы решения трансцендентных неравенств.

Объект исследования: трансцендентные уравнения и неравенства.

Предмет исследования: основные методы решения трансцендентных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

В школьном курсе математики существуют различные разделы, и одним из них является изучение трансцендентных неравенств. В данной курсовой работе мы рассмотрим понятия трансцендентных уравнений и неравенств, классификацию и свойства трансцендентных функций, основные методы решения трансцендентных уравнений и неравенств, а также применение этих методов для решения конкретных задач.

Трансцендентные уравнения и неравенства по определению являются неалгебраическими и включают в себя разнообразные классы функций, такие как экспоненциальные, логарифмические и многие другие. Эти уравнения и неравенства возникают в широком спектре прикладных и теоретических задач, и их решение требует использования специальных математических методов.

Работа структурирована следующим образом: первый раздел предоставляет обзор основных понятий и определений, связанных с трансцендентными уравнениями и неравенствами. Второй раздел посвящен подробному описанию методов и приемов, используемых для решения таких уравнений и неравенств, а также примерам применения этих методов для решения различных типов трансцендентных задач. И, наконец, в заключении мы подведем итоги проведенного исследования, обсудим его ограничения и предложим возможные направления дальнейших исследований.

В дальнейшем исследовании можно углубить наши знания в области трансцендентных уравнений и неравенств, а также разработать новые методы и подходы, которые могут быть применены для эффективного решения сложных задач.

Глава 1. Теоретические основы

Все уравнения и неравенства можно разделить на две категории: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическое уравнение (неравенство) – это уравнение (неравенство), в котором каждая из частей есть одночлен или многочлен по отношению к неизвестным величинам. Эти уравнения и неравенства содержат только конечные операции над переменными, такие как умножение, сложение и вычитание. Например: – линейное уравнение третьего порядка. Однако трансцендентные уравнения и неравенства содержат функции, которые не могут быть выражены конечным числом алгебраических операций. [15] Например: .

История появления трансцендентных функций

Трансцендентные функции синус и косинус были табулированы на основе физических измерений в древности, как свидетельствуют данные Греции ( Гиппарх ) и Индия (джья и коти-джья ). Описывая таблицу аккордов Птолемея, эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал: «Математическое понятие непрерывности как явное понятие неизвестно Птолемею. То, что он фактически рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, с помощью простого процесса линейной интерполяции».

A революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было объяснено Леонардом Эйлером в 1748 году в его работе «Введение в анализ бесконечного». Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции  до квадратур прямоугольной гиперболы  

Грегуар де Сен-Винсент в 1647 году., через два тысячелетия после того, как Архимед создал квадратуру параболы.

Было показано, что область под гиперболой имеет свойство масштабирования постоянной площади для постоянного отношения границ. Функция гиперболического логарифма, описанная таким образом, использовалась ограниченно до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, в которых константа возводится в степень переменной степени, например, экспоненциальной функцией, где константа base равна e. Введя эти трансцендентные функции и отметив свойство биекции, которое подразумевает обратную функцию, была предоставлена ​​возможность алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом, даже если это не алгебраическая функция.

Показательная функция записывается как  .

Эйлер отождествил его с бесконечным рядом  , где k! обозначает факториал числа k.

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие и , так что   . Эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синуса и косинуса, введя , в результате чего получается чередующаяся серия. После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с функциями логарифма и экспоненты, часто через формулу Эйлера в арифметике комплексных чисел [13].

В школьном курсе математики, помимо алгебраических уравнений и неравенств, обучающиеся также сталкиваются с трансцендентными уравнениями и неравенствами в рамках курса алгебры и начала математического анализа. Эти уравнения и неравенства имеют особую природу, отличающуюся от алгебраических уравнений и неравенств, и требуют специальных методов для их решения.

Определение трансцендентного уравнения

Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит одну или более трансцендентных функций, таких как экспонента, логарифм или тригонометрические функции, в отличие от алгебраического уравнения, которое содержит только алгебраические функции и операции.

Трансцендентные уравнения часто возникают в математическом моделировании, физике и других науках при описании сложных явлений. Решение трансцендентного уравнения может быть не всегда возможно или требовать использования численных методов. [6]

Примером трансцендентного уравнения может быть уравнение:

.

В этом уравнении функция является трансцендентной функцией, а является алгебраической функцией. Решение таких уравнений довольно сложное и требует применения специальных методов.

Одно из самых известных трансцендентных уравнений, которое рассматривается в школе, это уравнение синуса или косинуса: или , где – константа. Решить такое уравнение можно с помощью тригонометрических тождеств или графика тригонометрической функции.

Другой пример трансцендентного уравнения, которое рассматривается в школе, – это уравнение экспоненты: , где – константа. Решение данного уравнения может быть найдено с помощью логарифмических свойств или графика экспоненциальной функции.

Определение трансцендентного неравенства

Трансцендентные неравенства — это математические неравенства, в которых участвуют трансцендентные функции, то есть функции, которые не могут быть выражены через конечное число алгебраических операций и функций. Такие функции включают в себя экспоненту, логарифм, синус, косинус и другие.

Трансцендентные неравенства имеют широкое применение в различных областях математики, физики, экономики и других наук. Они используются для описания различных явлений и процессов, моделирования систем, оптимизации функций и многих других целей.

Примером трансцендентного неравенства может служить неравенство Йенсена, которое утверждает, что для любой выпуклой функции f(x) выполняется следующее неравенство: f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y),

где 0 ≤ λ ≤ 1, а x и y - произвольные числа. Это неравенство имеет множество приложений в теории оптимизации, теории вероятностей, статистике и других областях.

Еще одним примером трансцендентного неравенства является неравенство Гаусса-Лагранжа для интегралов, которое утверждает, что для любой непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b] выполняется следующее неравенство: |∫[a,b] f(x) dx| ≤ (b-a)max|f(x)|, где max|f(x)| - максимальное значение функции f(x) на отрезке [a,b]. Это неравенство используется в анализе функций и интегралов для оценки их значений.

Классификация и свойства трансцендентных функций

Трансцендентные функции — это функции, которые не являются алгебраическими, то есть не могут быть представлены в виде многочлена с рациональными коэффициентами.

Трансцендентные функции могут быть классифицированы на основе их свойств и характеристик. Ниже приведены некоторые общие типы трансцендентных функций:

1. Элементарные трансцендентные функции:

• Экспоненциальная функция:

• Логарифмическая функция:

• Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и их обратные функции ( , , и т. д.)

2. Специальные трансцендентные функции:

• Гамма-функция: ;

• Бета-функция:

В математике бета-функцией (интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух комплексных переменных: .

4. Эллиптические функции:

• Эллиптический интеграл некоторая функция f над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде: , где R — рациональная функция двух аргументов, P — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней, c — некоторая константа из поля, где определена функция.

• и другие связанные функции

Свойства трансцендентных функций включают в себя:

1.Экспоненциальный рост: трансцендентные функции, такие как экспонента, растут очень быстро при увеличении аргумента.

2.Ограниченность: некоторые трансцендентные функции, такие как тангенс и котангенс, могут быть ограничены в определенных областях значений.

3.Периодичность: многие трансцендентные функции, включая тригонометрические функции, обладают периодическими свойствами.

Примеры применения трансцендентных уравнений в науке и технике

Трансцендентные уравнения и неравенства также широко используются в физике, экономике и других науках. Они позволяют моделировать и анализировать сложные явления и процессы, которые не могут быть описаны простыми алгебраическими уравнениями. Рассмотрим некоторые области применения трансцендентных уравнений и неравенств:

1. Физика: например, в квантовой механике уравнение Шредингера, которое описывает движение микрочастиц, является трансцендентным уравнением: . В механике трансцендентные уравнения могут использоваться для описания колебаний, волн, и других движений. Например, уравнение гармонических колебаний связано с синусоидальной функцией, что является трансцендентным уравнением.

2. Инженерия: трансцендентные уравнения и неравенства используются для анализа электрических цепей, акустики и других физических процессов, что позволяет учитывать сложные зависимости между различными параметрами. В инженерных науках, трансцендентные уравнения могут применяться для проектирования и анализа различных систем и процессов, таких как фильтрация сигналов, управление, и т.д.

3. Электротехника: трансцендентные уравнения и неравенства могут применяться для анализа электрических цепей, распространения сигналов в проводах, и других электрических явлений. Например, ток или напряжение в цепи может быть описано с помощью экспоненциальных или логарифмических функций.

4. Криптография: трансцендентные уравнения и неравенства могут применяться для создания сложных систем шифрования, основанных на математических преобразованиях, которые сложно обратить.

5. Медицина: используются для моделирования биологических процессов, таких как диффузия молекул в тканях или распространение электрических сигналов в нейронах.

6. Компьютерная графика: используются для описания и моделирования сложных форм и поверхностей. Например, для создания реалистичных 3D-моделей объектов часто применяются техники, основанные на решении трансцендентных уравнений.

7. Финансовая математика: используются для моделирования и оценки различных финансовых инструментов и процессов. Например, оценка стоимости опционов на фондовом рынке может основываться на решении трансцендентных уравнений, таких как уравнение Блэка-Шоулза.

Конечно, это лишь некоторые примеры применения трансцендентных уравнений в науке и технике. Они также используются в других областях, таких как биология, химия, экономика и т. д. Учет трансцендентных функций и их уравнений позволяет более точно и полно описывать разнообразные физические, технические и экономические процессы.

Глава 2. Решения трансцендентных уравнений и неравенств Методы решения трансцендентных уравнений с примерами

Решение трансцендентных уравнений может осуществляться различными методами, в зависимости от их формы и типа функций, входящих в уравнение. Некоторые из методов включают численные методы, итерационные методы, графические методы и разложение в ряды.

В школьном курсе математики обычно изучаются основные методы для решения трансцендентных уравнений. Рассмотрим некоторые из них:

1. Графический метод:

Это один из основных методов, рассматриваемых в школе. Он состоит в построении графика левой и правой частей уравнения и определении точек их пересечения. Этот метод позволяет примерно определить корни уравнения и найти их число. Однако, он имеет некоторые ограничения, так как не всегда возможно построить точный график или найти все корни.

Пример. Решите уравнение графическим способом.

Решение. Преобразуем исходное выражение к эквивалентному виду

. Затем построим графики и .

По графику (рис. 1) видно, что уравнение имеет один корень в интервале

.

(рис. 1)

2. Аналитический метод:

Данный метод может использовать различные приемы и свойства функций, чтобы найти аналитическое выражение для решений уравнения. Например, при решении уравнения аналитическим методом можно применить натуральный логарифм ко всему уравнению и получить выражение , где - константа.

Пример. Решить уравнение .

Решение:

Т. к. , то .

Если , тогда , причем равенство достигается только при . Значит, исходное уравнение имеет решение только при условии, что обе части его будут равны 2:

Проверим, удовлетворяет ли корень первому уравнению:

Ответ: .

3. Метод замены переменной:

Метод замены переменной позволяет преобразовать трансцендентное уравнение в алгебраическое уравнение путем введения новой переменной или функции. Затем можно использовать известные методы для решения алгебраических уравнений.

Пример. Решите уравнение .

Решение: преобразуем уравнение

Введем новую переменную , Тогда исходное уравнение примет вид: .

Выполним обратную замену:

.

Ответ: .

Важно отметить, что в школьном курсе математики обычно изучаются простые трансцендентные уравнения, которые могут быть решены с использованием методов, доступных на данном уровне. Однако в курсе математического анализа изучаются более сложные трансцендентные уравнения и их свойства.

Рассмотрим пример из 13 задания ЕГЭ по математике (профильный уровень). Дано уравнение .

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение:

а) Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

Введем новую переменную . Получим: .

Выполним обратную замену:

б) С помощью неравенств найдем, какие числа принадлежат данному промежутку:

Ответ: а) ; б) ;

Методы решения трансцендентных неравенств с примерами

Существует несколько методов решения трансцендентных неравенств, включая метод подстановки, анализ знаков производных и метод графиков. Рассмотрим основные методы решения трансцендентных неравенств с примерами.

1. Метод введения новой переменной:

Этот метод заключается в замене трансцендентной функции (например, экспонента или логарифм) более простой функцией, чтобы найти значения переменной, удовлетворяющие неравенству. Например, если у нас есть неравенство , мы можем заменить 8 на и решить уравнение

. Чаще всего этот метод используется, когда уравнение или неравенство является квадратным относительно функции, содержащей искомую переменную. [5]

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

ОДЗ:

Прологарифмируем оба уравнения по основанию 7:

Ответ: .

2. Анализ знаков производных:

Для некоторых трансцендентных функций мы можем использовать анализ знаков производной, чтобы определить интервалы, на которых функция положительна или отрицательна. Например, если нужно решить неравенство , мы можем найти производную функции и проанализировать знаки на соответствующих интервалах.[8]

3. Графический метод:

Один из способов решения трансцендентных неравенств заключается в построении графика функции, заданной неравенством, и определении интервалов, где функция удовлетворяет неравенству. Например, для решения неравенства можно построить график функции синуса и найти интервалы, где функция положительна. Например, если нам нужно решить неравенство , мы можем построить график функций и и найти их пересечение.

Пример 2. Решить графически неравенство:

Решение:

Построим график функции и проведём прямую .

Нас интересуют те значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой у = ¹/₂.

Одним из нужных нам промежутков является интервал (^π/₃; ^5π/₃).

(рис. 2)

Воспользовавшись периодичностью функции , запишем ответ.

Ответ: .

4. Метод замены переменных:

Иногда можно применить замену переменных для приведения трансцендентного неравенства к более простому виду. Например, для решения неравенства можно воспользоваться заменой переменной, например, , чтобы свести неравенство к более простой форме.

Пример 3. Решить неравенство:

ОДЗ:

Сделаем замену переменной:

Тогда неравенство примет вид:

Решим данное неравенство методом интервалов.

Найдем нули неравенства:

(рис. 3)

Можно переписать в виде совокупности:

Сделаем обратную замену переменной ( ):

, ,

С учетом ОДЗ получим: .

Ответ: .

5. Геометрический метод:

В некоторых случаях геометрические интерпретации трансцендентных функций могут помочь в решении неравенств. Например, для решения неравенства можно использовать геометрическую интерпретацию тангенса как отношения противолежащего и прилежащего катета в треугольнике.

Конечно, это только некоторые методы, которые могут применяться для решения трансцендентных неравенств. Конкретный метод выбирается в зависимости от формы и свойств уравнения. В сложных случаях может потребоваться комбинация разных методов для получения решения.

Рассмотрим пример из 15 задания ЕГЭ 2017г.

Пример 4. Решить неравенство:

Запишем ОДЗ:

, ,

,

Подлогарифмические функции постараемся сделать одинаковыми, воспользовавшись свойствами логарифмов.

Подставим в исходное неравенство:

Заметим, что

Введем новую переменную: .

Тогда исходное неравенство примет вид:

(рис. 4)

Сделаем обратную замену :

С учетом ОДЗ: .

Ответ: .

Анализ возникающих трудностей и ошибок

Традиционно в школьном курсе математики одной из основных содержательно методических линий является изучение уравнений и неравенств. Очень многие учащиеся испытывают трудности при решении неравенств, относящихся к повышенному и высокому уровню сложности. Несмотря на это, к решению неравенства, требующего развернутого ответа, на едином государственном экзамене по математике профильного уровня (задание 15) приступает достаточное количество экзаменуемых. Однако далеко не все они получают максимальный балл за выполнение этого задания. Решению задач подобного рода на ЕГЭ посвящено достаточно много методических исследований.

При решении уравнений приоритета и неравенства за прошедший год

указываются типичные ошибки:

• Отсутствующие показания в математических символах неравенства.

• Не разбираетесь в алгоритме решения логарифмических неравенств.

• Наблюдение за группой отображается на координатной линии. [12]

Разработчиками КИМов последних трех лет были предложены задания 15, в которых необходимо было решить сложные неравенства, содержащие показательную или логарифмическую функцию.

В отчете ФИПИ за 2017 год отмечается, что в КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня были изменены подходы к разработке заданий 15 (неравенство) с целью исключения искусственных выражений с логарифмами по переменному основанию. Задание 15 относится к алгебраическим заданиям повышенного уровня с развернутым ответом и проверяет умение решать неравенства. Ненулевые баллы за выполнение этого задания получило около 15% участников экзамена, максимальный балл – 11%.

Указаны типичные ошибки:

• невнимательное чтение математической записи неравенства;

• непонимание алгоритма решения логарифмических неравенств;

• небрежность при изображении множеств на координатной прямой.

Очень много ошибок допущено при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель).

В школьной практике сложные неравенства из банка ЕГЭ решаются классическими алгебраическими методами, что вызывает у учащихся ряд трудностей. Не всякое неравенство в результате преобразований или с помощью «удачной» замены переменной может быть сведено к неравенству стандартного вида, для которого существует определенная схема решения. [17]

Заключение

Трансцендентные уравнения и неравенства представляют собой важную область математики, которая находит применение в различных научных и инженерных дисциплинах. Они являются более общими, чем алгебраические уравнения и неравенства, и позволяют моделировать и анализировать более сложные явления и процессы.

В ходе работы были рассмотрены основные понятия и свойства трансцендентных уравнений и неравенств. Были изучены основные методы решения таких уравнений и неравенств, включая графический, аналитический, метод замены переменной. Также были рассмотрены примеры и приложения трансцендентных уравнений и неравенств в различных областях, таких как физика, инженерия, электроника, криптография, медицина, компьютерная графика, финансовая математика.

Важно отметить, что решение трансцендентных уравнений и неравенств часто требует использования особых методов, так как аналитическое решение не всегда возможно или практически неосуществимо. Поэтому в работе было рассмотрено применение таких методов, как графический, метод замены переменной.

Трансцендентные уравнения и неравенства имеют широкий спектр применений в научных и инженерных задачах. Они позволяют моделировать и анализировать сложные явления, оптимизировать процессы и принимать решения на основе математических моделей. Изучение трансцендентных уравнений и неравенств является важным шагом в развитии математической науки и ее применении в реальных задачах.

В целом, работа посвящена изучению и анализу трансцендентных уравнений и неравенств, методам их решения, и она позволяет получить глубокое понимание этой области математики. Дальнейшее исследование трансцендентных уравнений и неравенств может привести к новым результатам и применениям в различных научных и инженерных областях.

Библиографический список

1. Как решать неравенства с логарифмами. Методы и способы решения // sigma-center.ru URL: https://sigma-center.ru/logarithmic_inequality (дата обращения: 14.12.2023).

2. Костюченко, Р. Ю. Сочетание метода интервалов и замены переменной в решении трансцендентных неравенств / Р. Ю. Костюченко // Инновационные подходы к обучению математике в школе и вузе : материалы II Всероссийской научно-практической конференции, Омск, 01–03 марта 2022 года. – Омск: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Омский государственный педагогический университет», 2022. – С. 40-44. – EDN FHJEVZ.

3. Майгула, Н. В. Метод рационализации: использование монотонности функций при решении неравенств / Н. В. Майгула, А. А. Смирнова // Проблемы управления качеством образования : Сборник статей XLV Международной научной конференции, Луга, 29 марта 2023 года. – СПб: Частное научно-образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Гуманитарный национальный исследовательский институт «НАЦРАЗВИТИЕ», 2023. – С. 35-40. – DOI 10.58351/230329.2023.40.74.004. – EDN OSEFQI.

4. Методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений // Вычислительная физика и численные методы / Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Тюменский государственный университет, Физико-технический институт. – Тюмень : ТюмГУ-Press, 2023. – С. 48-62. – EDN EHNOYG.

5. Миспахов А. Ш. Учебное пособие. Математика. Раздел: « Логарифмические уравнения и неравенства» (для студентов 1 курса всех специальностей Бизнес-колледжа) [Текст] / Миспахов А. Ш. — . — Махачкала: ДГУНХ: , 2018г — 27 c.

6. Монахова, О. А. Ошибки при решении комбинированных неравенств методом интервалов и пути их предупреждения / О. А. Монахова, М. В. Сорокина // Современные проблемы науки и образования. – 2021. – № 2. – С. 59. – DOI 10.17513/spno.30667. – EDN UISKLP.

7. Образовательный портал для подготовки к экзаменам // Сдам ГИА: решу ЕГЭ URL: https://math-ege.sdamgia.ru/ (дата обращения: 20.11.2023).

8. Пирютко О.Н., Ковгореня Л.В. Использование производной для решения уравнений, доказательства и решения неравенств / Пирютко О.Н., Ковгореня Л.В. [Электронный ресурс] // РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ : [сайт]. — URL: https://elib.bspu.by/bitstream/doc/3013/1/5_испр.pdf (дата обращения: 16.12.2023).

9. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ / [Электронный ресурс] // mainfodotru.files.wordpress.com: [сайт]. — URL: https://mainfodotru.files.wordpress.com/2017/09/numeric-methods-part2.pdf (дата обращения: 15.10.2023).

10. Решение уравнения аналитическим способом: что это такое? / [Электронный ресурс] // Сленги - значения слов : [сайт]. — URL: https://alternativa-profi.ru/znacheniya/resenie-uravneniya-analiticeskim-sposobom-cto-eto-takoe (дата обращения: 15.10.2023).

11. Сабирова Г. Р. Нестандартные способы решения трансцендентных уравнений: дис. канд. мат. наук: Елабуга, 2016. - 121 с.

12. Саралапова, С. А. Трансцендетные уравнения и неравенства в заданиях ЕГЭ / С. А. Саралапова, А. Б. Бакашева // Актуальные вопросы физико-математического образования : Материалы межрегиональной студенческой научно-практической конференции, Грозный, 29 апреля 2021 года. – Грозный: Чеченский государственный педагогический университет, ИП Овчинников Михаил Артурович (Типография Алеф), 2021. – С. 132-135. – EDN HPJTYF.

13. Трансцендентная функция / [Электронный ресурс] // АльфапедиЯ : [сайт]. — URL: https://alphapedia.ru/w/Transcendental_function (дата обращения: 14.12.2023).

14. Черных О. А. Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений: специальность «Математика»: Диссертация на соискание кандидата физико-математических наук / Черных О. А. ; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кузбасская государственная педагогическая академия». — Новокузнецк, 2012. — 83 c.

15. Что такое трансцендентное уравнение? / [Электронный ресурс] // PSK Group полезный портал: [сайт]. — URL: https://psk-group.su/znacheniya/cto-takoe-transcendentnoe-uravnenie (дата обращения: 15.10.2023).

16. Шийдэв, Б. Об одном подходе к решению трансцендентных уравнений / Б. Шийдэв, Б. Очирбат, Д. В. Бутуханова // Вестник Бурятского государственного университета. – 2009. – № 15. – С. 111-113. – EDN KYSXMH.

17. Шумай, Т. А. Один из нестандартных методов решения трансцендентных неравенств / Т. А. Шумай, С. Е. Васильева // Проблемы науки. – 2018. – № 4(28). – С. 6-12. – EDN YWULEO.