Трансцендентные уравнения и неравенства

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова»

(ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова»)

Институт естественных наук и математики

Кафедра математики и МПМ

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

направленность (профили) математика, физика

Трансцендентные уравнения в школьном курсе математики

Выполнила:

Омельчук Галина Леонидовна

Группа МФ-41

Курс 4

Форма обучения очная.

Абакан, 2023г.

Оглавление

Введение

Цель работы: выделить основные методы решения трансцендентных уравнений и неравенств из школьного курса математики и рассмотреть применение этих методов для решения конкретных примеров.

Объект исследования: трансцендентные уравнения и неравенства.

Предмет исследования: основные методы решения трансцендентных уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Введение (продолжение)

Задачи работы:

• Ознакомиться с теорией по теме работы:

• Определение трансцендентного уравнения; Определение трансцендентного уравнения; Классификация трансцендентных функций; Свойства трансцендентных функций; Применение трансцендентных уравнений и неравенств.
• Определение трансцендентного уравнения;
• Определение трансцендентного уравнения;
• Классификация трансцендентных функций;
• Свойства трансцендентных функций;
• Применение трансцендентных уравнений и неравенств.
• Ознакомиться с методами решения трансцендентных уравнений и неравенств: Методы решения трансцендентных уравнений; Методы решения трансцендентных неравенств.
• Методы решения трансцендентных уравнений;
• Методы решения трансцендентных неравенств.

Классификация уравнений

Алгебраические уравнения

Трансцендентные уравнения

Уравнения, в которых каждая из частей есть одночлен или многочлен по отношению к неизвестным величинам.

Уравнения, которые содержат одну или более трансцендентных функций, таких как экспонента, логарифм или тригонометрические функции.

Например:

Например: .

– линейное уравнение третьего порядка.

Основные методы для решения трансцендентных уравнений:

• Графический метод:

Пример. Решите уравнение графическим способом.

Решение. Преобразуем исходное выражение к эквивалентному виду .

Затем построим графики и

.

По графику (рис. 1) видно, что уравнение имеет один корень в интервале

.

Рис. 1

2. Аналитический метод:

Пример. Решить уравнение .

Решение:

Т. к. , то .

Если , тогда , причем равенство достигается только при . Значит, исходное уравнение:

имеет решение только при условии, что обе части его будут равны 2:

Проверим, удовлетворяет ли корень первому уравнению:

Ответ: .

3. Метод замены переменной:

Пример. Решите уравнение .

Решение:

Преобразуем уравнение:

Введем новую переменную ,

Тогда исходное уравнение () примет вид:

.

()

Выполним обратную замену:

.

Ответ: .

Пример из 13 задания ЕГЭ по математике

(профильный уровень).

Дано уравнение . а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение:

а) Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

Введем новую переменную . Получим: .

Выполним обратную замену:

б) С помощью неравенств найдем, какие числа принадлежат данному промежутку:

Ответ: а) ; б) ;

Контрольные вопросы

Вопрос 1.

… – это уравнение (неравенство), в котором каждая из частей есть одночлен или многочлен по отношению к неизвестным величинам.

• Алгебраическое уравнение (неравенство)
• Трансцендентное уравнение (неравенство)
• Квадратное уравнение (неравенство)

Вопрос 2.

Некоторые трансцендентные функции, такие как тангенс и котангенс, могут быть ограничены в определенных областях значений. О каком свойстве трансцендентных функций идет речь?

• Экспоненциальный рост
• Ограниченность
• Периодичность

Вопрос 3.

Данный метод может использовать различные приемы и свойства функций, чтобы найти аналитическое выражение для решений уравнения.

• Аналитический
• Графический
• Метод замены переменной

Вопрос 4.

Выберите из представленных уравнений те, которые относятся к трансцендентным:

Вопрос 5.

Трансцендентные функции, такие как экспонента, растут очень быстро при увеличении аргумента. О каком свойстве трансцендентных функций идет речь?

• Экспоненциальный рост
• Ограниченность
• Периодичность

Спасибо за внимание!

Омельчук Галина Леонидовна

Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова, ИЕНиМ

Студент группы МФ-41

Курс 4

Форма обучения очная

Email: galya.omelchuk@bk.ru