Треугольник Паскаля

Муниципальное учреждение дополнительного профессионального образования

«Информационно-методический центр»

142100, Московская область, г. Подольск, ул. Веллинга, дом 3

тел.: 8 (4967) 68-91-09 E-mail: primc@inbox.ru

КОНФЕРЕНЦИЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ «ШАГ В НАУКУ»

МАТЕМАТИКА

Треугольник Паскаля.

Чижевский Даниил Вячеславович 7«Г» класс МБОУ СОШ №1

Учитель математики Павлюк Ольга Николаевна

МБОУСОШ №1

г. Подольск

2017г.

СОДЕРЖАНИЕ:

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРОЕКТА……………………………………………………………….......3

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………………………...4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………………………………………..4

1.1 Исторические и биографические факты из жизни Паскаля…………………..……………..4

1.2 Чем знаменит Блез Паскаль……………………………………………………………………4

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………………………5

2.1 Треугольник Паскаля………………………………………………………………………5

2.2 Свойства треугольника Паскаля……………………………………………………..……5

2.3Задачи с использованием треугольника Паскаля……………………………..……….…6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………8

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………………………..8

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………………………………9

Цели и задачи проекта

1. Основная цель проекта:

Выяснить, чем знаменит Блез Паскаль и его треугольник.

Вопросы учебной темы:

1.1. Кто ты, Паскаль?

1.2. Почему треугольник Паскаля так знаменит?

1.3. Где треугольник Паскаля находит свое применение?

Методические задачи:

2.1. Научиться быстро и эффективно работать в сети Интернет.

2.2. Научиться создавать законченные информационные продукты.

1. Научиться обрабатывать и обобщать полученную информацию.

1. Дидактические цели проекта:

1. С помощью дополнительной литературы, основанной на исторических фактах, познакомиться с открытиями и жизнью Паскаля с точки зрения развития математики.

3.2. Рассмотреть треугольник Паскаля, как источник замечательных математических открытий.

3.3. Изучение возможностей программы PowerPoint.

Введение

Перед нами математическая таблица в виде треугольника, которая называется треугольником Паскаля (рисунок 1). Как мы видим, она состоит из различных натуральных чисел, но то, что мы видим, это лишь часть треугольника! На самом деле, эта таблица бесконечна и таит в себе множество свойств, последовательностей и закономерностей, с которыми мы и познакомимся.

Я услышал о треугольнике Паскаля на факультативе по математике и очень заинтересовался этой темой. Я узнал многое не только о самом треугольнике, но и о его создателе.

Получив необходимые знания, я решил провести опрос в Интернете и в своем классе: много ли людей знают о треугольнике Паскаля? В ходе данных опросов я получил следующие данные:

Поэтому мне захотелось не только получить новые знания самому, но и донести эти знания до других. Блез Паскаль оказался очень и очень интересной личностью: давайте же посмотрим!

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Исторические и биографические факты из жизни Паскаля.

Блез Паскаль (рисунок 2) родился 19 июня 1623 г. в г. Клермон-Ферран. Его отец славился своим интересом к наукам, в том числе и математике, что и сыграло важную роль в жизни мальчика.

Природа наделила Паскаля необычайными способностями, но обделила здоровьем. Заметив сильный интерес сына к геометрии, отец запретил ему заниматься ей, так как мальчик не раз бывал на грани жизни и смерти. Однако, после того, как он сам доказал, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, отец сдался и не стал ему ничего запрещать.

1. Чем знаменит Блез Паскаль?

Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики - вот кто на самом деле Блез Паскаль. Он совершил множество замечательных открытий как в математике, так и в геометрии, физике и теории вероятностей.

Всю свою жизнь Паскаль оставался влиятельным математиком. Его удобное представление биномиальных коэффициентов в виде таблицы, изложенное в «Трактате об арифметике треугольника», увидевшем свет в 1653 г., получит название «треугольника Паскаля».

В 1654 г. к учёному обращается его друг, азартный игрок Шевалье де Мере, с просьбой помочь в разрешении проблем, возникающих в игре, и Паскаль, заинтересовавшись, обсуждает этот вопрос с математиком Ферма, что приводит к возникновению математической теории вероятностей. Одна из описанных ими возможных ситуаций в игре была следующей: два игрока хотят закончить игру досрочно и, учитывая условия на данный момент, желают честно разделить ставку на кону, основываясь на предпосылке, что, в данный момент, шансы победить у них равные. Исходя из этих данных, Паскаль использует случайный аргумент, получающий название «ставка Паскаля». Работа, проделанная Паскалем и Ферма, поможет Лейбницу вывести формулу исчисления бесконечно малых. Внёс свой вклад Паскаль и в философию математики, написав работы «Дух геометрии» и «Искусство убеждать».

Вклад учёного в развитие физической науки заключается в его трудах по гидродинамике и гидростатике, основанных, главным образом, на гидравлических законах. Следуя теориям Галилео и Торричелли, он оспаривает утверждение Аристотеля о том, что созидание имеет материальную природу, будь она видимой или невидимой. Паскаль утверждает, что в любой материи присутствует вакуум. Он доказывает, что именно вакуум движет ртутью в барометре и даже заполняет пространство над веществом в ртутном столбике. Результаты своих практических экспериментов Паскаль в 1647 г. излагает в работе «Новейшие опыты касательно вакуума». Эти опыты, произведшие фурор во всей Европе, выводят закон Паскаля и доказывают пользу барометра (рисунок 3).

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, а строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел, именно поэтому он так ценен для многих ученых. Однако, хоть треугольник и назван именем Паскаля, изначально идея принадлежала китайским ученым (рисунок 4).

2.2 Свойства треугольника Паскаля.

Итак, пора выяснить, какие же свойства и последовательности таит в себе треугольник Паскаля?

а)Числа треугольника симметричны относительно вертикальной оси;

б)В строке с номером n (счет начинается со строки 0):

1)первое и последнее числа равны 1;

2)второе и предпоследнее числа равны n;

3)третье число равно треугольному числу (это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т.д.), что также равно сумме номеров предшествующих строк;

4)четвёртое число является тетраэдрическим (это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит треугольник: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120 и т.д.)(рисунок 5);

5)m-е число (при нумерации с 1) равно биномиальному коэффициенту;

в) Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся со второй строки, есть n-е число Фибоначчи (каждое следующее число является суммой предыдущих чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д.);

г) Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана (1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 и т.д.)

д) Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2ⁿ;

е) Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, тогда и только тогда, когда n является простым числом;

ж) Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше;

з) Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз (рисунок 6);

Однако это не все свойства данного объекта. С помощью треугольника Паскаля также можно и решать задачи!

2.3 Задачи с использованием треугольника Паскаля.

Оказывается, с помощью треугольника Паскаля можно решать задачи! В основном это задачи по комбинаторике, и пропустить это «чудесное» свойство было бы недопустимо! Я решил посмотреть, как это делается…

Задача 1.

В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение:

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56 (рисунок 7).

Задача 2.

Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду шестую сверху диагональ и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15 (рисунок 8).

Задача 3.

Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Найду четвёртую сверху диагональ и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12 (рисунок 9).

Значит, с помощью треугольника Паскаля значительно облегчается решение задач по комбинаторике. Чтобы это проверить, я попросил часть моего класса разделиться на две группы по пять человек. Затем я составил двадцать задач по комбинаторике и предложил одной из групп решать эти задачи традиционным способом, а второй – с использованием треугольника Паскаля, причем в каждой из групп решалось по пять задач. Затем я поменял эти группы местами и дал каждой из групп по пять других задач. В итоге мне удалось выяснить, что с использованием треугольника решение большинства задач по комбинаторике можно сократить в два-три раза. То есть треугольник можно использовать и в реальной жизни, что немаловажно!

Заключение.

В предоставленной работе рассмотрен треугольник Паскаля, «детище» знаменитого ученого, философа и литератора Блеза Паскаля. Этот математический объект служил объектом рассмотрения многих ученых, но на данный момент все его свойства вряд ли выяснили. Это значит, что Паскаль дал нам объект для новых открытий и изобретений (рисунок 10).

В ходе работы над проектом я выступил в своей школе и школе №5 микрорайона Климовска и узнал много нового и интересного для себя, мне удалось заинтересовать своих одноклассников своими выступлениями. Я понял, что не зря взялся за эту тему, что потратил время не впустую.

Список литературы

• «Книга для внеклассного чтения по математике для старших классов» А.А.Колосов 1963г.

• «Треугольник Паскаля» Успенский В. А. 2015г

• Интернет ресурсы.

  • Треугольник Паскаля в комбинаторных задачах http://nsportal.ru

  • Блез Паскаль http://ru.wikipedia.org/wiki/

  • Треугольник Паскаля https://ru.wikipedia.org/wiki/(рисунок 11)

Приложение

Рисунок 1:

Рисунок 2:

Рисунок 3:

Рисунок 4:

Рисунок 5:

Рисунок 6:

Рисунок 7:

Рисунок 8:

Рисунок 9:

Рисунок 10:

Рисунок 11:

14