Тригонометрические функции в геометрии

Задания 13. Тригонометрические функции в геометрии

1. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

2. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

3. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

4. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

5. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

6. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

7. В треугольнике ABC угол C равен 90° Найдите

8. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 8. Найдите АС.

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, Найдите АВ.

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, ВС = 4. Найдите АС.

12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8, BC = 4. Найдите

13. В треугольнике ABC AC = BC = 5, Найдите АВ.

14. В треугольнике ABC AC = BC = 8, Найдите АВ.

15. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, Найдите AC.

16. В треугольнике , – высота, , Найдите

17. В треугольнике Найдите высоту

18. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, BC = 8. Найдите

19.

В треугольнике угол равен 90°, Найдите косинус внешнего угла при вершине

20. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

21. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

22. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

23. В треугольнике угол равен 90°, угол равен Найдите высоту

24. В треугольнике угол равен 90°, – высота, угол равен , Найдите

25. В треугольнике ABC  AC = BC, AB = 10, высота AH равна 3. Найдите синус угла BAC.

26. Дан тре­уголь­ни­к ABC. Известно, что AB = BC = 25, АС = 40. Най­ди­те синус угла А.

1. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение. Имеем:

Ответ: 0,96.

2. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение. Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными. Поэтому

Ответ: 0,96.

3. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

Ответ: 0,1.

4. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение. Имеем:

Ответ: 0,96.

5. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение. По определению тангенса имеем:

Ответ: 0,25.

6. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение.

Ответ: 0,96.

7. В треугольнике ABC угол C равен 90° Найдите

Решение. Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными. Поэтому

Ответ: 0,5.

8. В треугольнике угол равен 90°, Найдите

Решение. Имеем:

Ответ: 4,8.

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 8. Найдите АС.

Решение. По определению косинуса:

Ответ: 4.

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, Найдите АВ.

Решение. По определению косинуса:

Ответ: 8.

11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, ВС = 4. Найдите АС.

Решение. По определению тангенса:

Ответ: 8.

12. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 8, BC = 4. Найдите

Решение.

Ответ: 0,5.

13. В треугольнике ABC AC = BC = 5, Найдите АВ.

Решение. Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

Ответ: 9,6.

14. В треугольнике ABC AC = BC = 8, Найдите АВ.

Решение. Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

Ответ: 8.

15. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, Найдите AC.

Решение. Треугольник АВС равнобедренный, значит, высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

Ответ: 8.

16. В треугольнике , – высота, , Найдите

Решение. Треугольник равнобедренный, значит, углы и равны как углы при его основании.

Ответ: 4,8.

17. В треугольнике Найдите высоту

Решение. Треугольник равнобедренный, значит, углы и равны как углы при его основании.

Ответ: 4,8.

18. В треугольнике ABC угол C равен 90°, высота CH равна 4, BC = 8. Найдите

Решение. Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Ответ: 0,5.

19.

В треугольнике угол равен 90°, Найдите косинус внешнего угла при вершине

Решение. Косинусы смежных углов противоположны, поэтому

Ответ: −0,1

20. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение. Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника за , тогда больший острый угол будет равен Имеем: Поэтому x = 18°. Значит, больший острый угол равен

Ответ: 72.

21. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение. Заметим, что

Ответ: 45.

22. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение. Так как CM — медиана, то AM = MC (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы A и ACM равны как углы при основании равнобедренного треугольника:

Ответ: 31.

23. В треугольнике угол равен 90°, угол равен Найдите высоту

Решение.

Ответ: 1,5.

24. В треугольнике угол равен 90°, – высота, угол равен , Найдите

Решение. В треугольнике ABC катет BC лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы AB: его длина равна 2. В треугольнике BHC катет BH лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы BC: его длина равна 1.

Ответ: 1.

25.

В треугольнике ABC  AC = BC, AB = 10, высота AH равна 3. Найдите синус угла BAC.

Решение. Треугольник ABC равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании.

Ответ: 0,3.

26. Дан тре­уголь­ни­к ABC. Известно, что AB = BC = 25, АС = 40. Най­ди­те синус угла А.

Решение. Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Провёдем медиану BH, в равнобедренном треугольнике она является высотой. Применим теорему Пифагора:

Поэтому

В прямоугольном треугольнике синус угла равен:

Ответ: 0,6.