Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к  квадратным Отличительные признаки таких уравнений:

• В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу

6sin² x + 5 sin x - 7 = 0

6sin² x + 5 cos2x - 7 = 0

• В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной

6cos² x + 5 sin x -7 = 0

А л г о р и т м р е ш е н и я

• Необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую;

• Ввести обозначение (например, sin x = y );

• Решить полученное квадратное уравнение;

• Вернуться к прежней переменной;

• Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Пример 1

D=b 2 -4ac,

х 1,2 =(-b±√D)/2а

x=(-1) n arcsina+πn, nЄZ

3sin 2 x-5sinx-2=0

Решение:

1) Пусть sinx=у, тогда

3у 2 -5у-2=0

Находим корни квадратного уровнения по формулам

2) Вернемся к прежней переменной, т.к sinx=у , то

sinx=2 -нет корней

sinx=-1/3

x=(-1) n arcsina+πn, nЄZ

x=(-1) n arcsin(-1/3)+πn, nЄZ

x=(-1) n+1 arcsin1/3+πn, nЄZ

Ответ: x=(-1) n+1 arcsin1/3+πn, nЄZ

Пример 2

D=b 2 -4ac,

х1,2=(-b±√D)/2а

x=+- arccos x + 2πn, nЄZ

2 cos  2  x – 5 cos x + 2 = 0

Решение:

1 ) Пусть cos x = y, тогда уравнение имеет вид

2 у  2  – 5у + 2 = 0

Находим корни квадратного уравнения по формуле

2) Вернемся к прежней переменной, т.к cos x = y, то

cosx= 2 – нет корней cosx=1/2

x= arccos ½ + 2Пn, nЄZ

x1=П/3 + 2Пn, X=П/3 + 2Пn

x2= -arccos ½ + 2Пn, nЄZ

x2=-П/3 + 2Пn, X=П/3 + 2Пn

Ответ: x1= П/3 + 2Пn, X=П/3 + 2Пn и х2= -П/3 + 2Пn, X=П/3 + 2Пn

Пример 3

3) Вернемся к прежней переменной

2 sin² x + cos x - 1 = 0

сosx1=1 cosx2 = ½

Решение:

x=+- arccos x + 2πn, nЄZ

1) т.к cos 2 x+sin 2 x=1 , то

x1 =- arccoc 1 + 2πn, nЄZ

sin² x= 1- cos 2 x

x2 = +- arccos (- ½ )+ 2πn, nЄZ

Получаем

2(1- cos 2 x) + cos x -1=0

x1 = +- 2π/3 + 2πn, nЄZ

x2 = +- 2πn, nЄZ

2 - 2 cos 2 x + cos x -1=0

-2 cos 2 x + cos x + 1 = 0

2) Пусть cos x = у, тогда

Ответ:

-2у 2 + у + 1 = 0

x1 = +- 2π/3 + 2πn, nЄZ

x2 = +- 2πn, nЄZ

2у 2 - у - 1 = 0

У1 = 1 у2 = - ½

Домашнее задание:

Решите уравнения:

• 4cos 2 x-8cosx+3=0
• 4sin 2 x-1=0
• cos 2 x+3sinx-3=0
• 2sin 2 x-sinx-1=0
• 2cos 2 x+sinx+1=0

Домашнее задание отправлять на почту [email protected]

Просьба, все фотографии д.р добавить в один документ word/pdf, и сбросить одним файлом. Не забываем подписывать