Угол между прямыми в пространстве 10 класс

Куб 1

В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AC и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ. 90 о .

Куб 2

В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ. 90 о .

Куб 3

В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ. 90 о .

Куб 4

В единичном кубе A … D 1 найдите косинус угла между прямыми AE и BE 1 , где E и E 1 – середины ребер соответственно BC и B 1 C 1 .

Решение. Через точку A проведем прямую AF 1 , параллельную BE 1 . Искомый угол равен углу EAF 1 . В треугольнике AEF 1

AE = AF 1 = , EF 1 = .

По теореме косинусов находим

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ.

4

Куб 5

В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми AE и BF 1 , где E и F 1 – середины ребер соответственно BC и C 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 F на прямую CD . Прямая AE перпендикулярна BF , следовательно, она перпендикулярна BF 1 .

Ответ. 90 о .

5

Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD точки E , F , G – середины ребер AB , BD , CD . Н айдите у гол EFG .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC , которые перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен 90 о .

Ответ: 90 о .

6

Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Н айдите тангенс угла между прямыми SA и BE .

Решение. Через точку E проведем прямую, параллельную SA . Она пересечет основание в точке O . Искомый угол равен углу OEB . В прямоугольном треугольнике OEB имеем:

OB = , OE = . Следовательно,

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точки E , F – середины ребер SB и SC . Н айдите косинус угла между прямыми AE и BF .

Решение. Обозначим G середину ребра AD . Прямая GF параллельна AE . Искомый угол равен углу BFG . В треугольнике BFG имеем:

BF = GF = , BG = .

По теореме косинусов находим

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, н айдите угол между прямыми SA и BF .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 о .

Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SC . Н айдите тангенс угла между прямыми SA и BG .

Решение. Обозначим H середину отрезка AC . Прямая GH параллельна SA . Искомый угол равен углу BGH . В треугольнике BGH имеем:

BH= 0,5, GH = 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение: Достроим призму до 4-х угольной призмы. Проведем AD 1 параллельно BC 1 . Искомый угол будет равен равен углу B 1 AD 1 . В треугольнике AB 1 D 1

Используя теорему косинусов, находим

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, точки D , E – середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 . Н айдите косинус угла между прямыми AD и BE .

Решение. Обозначим F середину отрезка AC . Прямая EF параллельна AD . Искомый угол равен углу BEF . В треугольнике BGH имеем:

По теореме косинусов находим

Ответ.

Призма 3

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AA 1 и BD 1 .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 BD 1 . В прямоугольном треугольнике B 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B = 1; BD 1 =2 . Следовательно, искомый угол равен 60 о .

Ответ. 60 о .

Призма 4

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми AA 1 и BE 1 .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 BE 1 . В прямоугольном треугольнике B 1 BE 1 катет B 1 E 1 равен 2 ; катет B 1 B равен 1. Следовательно,

Ответ. 2.

Призма 5

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми A С 1 и BE .

Ответ. 90 о .

Призма 6

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми A D 1 и BF .

Ответ. 90 о .

Призма 7

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми A B 1 и BE 1 .

Ответ. 90 о .

Призма 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BA 1 и FC 1 .

Решение: Через середину O отрезка FC 1 проведем прямую PP 1 , параллельную BA 1 . Искомый угол равен углу POC 1 . В треугольнике POC 1 имеем:

PO = ; OC 1 = PC 1 = .

Следовательно,

Ответ.

Призма 9

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 .

Решение: Пусть O 1 –центр правильного 6-ка A 1 … F 1 . Тогда AO 1 параллельна BC 1 , и искомый угол равен углу B 1 AO 1 . В равно-бедренном треугольнике B 1 AO 1 O 1 B 1 =1; AB 1 = AO 1 = Применяя теорему косинусов, получим

Призма 10

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 AE 1 . В треугольнике B 1 AE 1 AB 1 = ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Следовательно,

Призма 11

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BF 1 .

Решение: Пусть O , O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1 . Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1 , и искомый угол будет равен углу BF 1 O 2 . В треугольнике BF 1 O 2 BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = По теореме косинусов, имеем

Призма 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CD 1 .

Решение: Искомый угол равен углу CD 1 E . В треугольнике CD 1 E CD 1 = ED 1 = ; CE = По теореме косинусов, имеем

Призма 1 3

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CE 1 .

Решение: Заметим, что CE 1 параллельна BF 1 . Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и BF 1 , который был найден ранее. А именно,

Призма 1 4

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CF 1 .

Решение: Пусть O , O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1 . Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1 , и искомый угол будет равен углу CF 1 O 2 . В треугольнике CF 1 O 2 CO 2 = CF 1 = F 1 O 2 = Тогда

Призма 15

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CA 1 .

Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1 . Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1 , и искомый угол будет равен углу CA 1 B 2 . В треугольнике CA 1 B 2 CA 1 = 2; CB 2 = A 1 B 2 = Тогда

Призма 1 6

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DF 1 .

Решение: Заметим, что DF 1 параллельна CA 1 . Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и CA 1 , который был найден ранее. А именно,

Призма 1 7

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AB 1 и DA 1 .

Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1 . Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1 , и искомый угол будет равен углу DA 1 B 2 . В треугольнике DA 1 B 2 DA 1 = DB 2 = A 1 B 2 = Следовательно, искомый угол равен 90 o .

Призма 1 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DC 1 .

Решение: Пусть O – центр основания призмы. Отрезки OC 1 и OB 1 будут равны и параллельны отрезкам AB 1 и DC 1 , соответствен - но. Искомый угол будет равен углу B 1 OC 1 . В треугольнике B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Тогда, по теореме косинусов

Призма 1 9

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми A C 1 и BD 1 .

Решение: Заметим, что AE 1 параллельна BD 1 . Следовательно, искомый угол равен углу C 1 AE 1 . В треугольнике C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = По теореме косинусов, имеем

Призма 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми A C 1 и BE 1 .

Решение: Заметим, что отрезок GG 1 , проходящий через середины ребер AF и C 1 D 1 , параллелен и равен отрезку AC 1 . Искомый угол равен углу G 1 OE 1 . В треугольнике G 1 OE 1

OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 = .

По теореме косинусов, имеем