Умножение многочлена на многочлен

7класс УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН (4 ч) урок 1

Цели: вывести правило умножения многочлена на многочлен

Задачи: 1. Учить применять правило при выполнении упражнений; закрепить навыки приведения подобных слагаемых и правила действий с ра­циональными числами.

2. Развивать объяснять, строить логические цепочки решения, читать выражения, записывать, вычислительные навыки учащихся, образное и логическое мышление, устную и письменную речь учащихся.

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

• Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, допущенные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у уча­щихся.

• Устная работа. Выполните умножение:

а) а (х – у); б) p (3 – q); в) 2a⁴ ; г) 4y ; д) c² (c³ + 2); е) –5х (3х² – 4);

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в несколько этапов согласно материалу учебника.

1. Вывести правило умножения многочлена на многочлен и наглядно представить его на доске:

2. Сформулировать полученное правило, попросить нескольких учащихся повторить его.

3. Разобрать примеры применения правила.

Поскольку данная тема является новой для учащихся, целесообразно привести несколько несложных примеров непосредственного применения правила умножения двух многочленов. Примеры использования этого правила при решении ряда задач лучше рассмотреть на следующих уроках.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

III. Формирование умений и навыков.

За урок следует опросить как можно больше учащихся, чтобы убедиться, что они усвоили правило умножения многочлена на многочлен. Поэтому для выполнения каждого задания к доске можно вызывать сразу трёх учащихся.

1. № 677, № 678.

В этих заданиях на умножение многочленов каждый из множителей является линейным. Важно, чтобы учащиеся следили за точностью применения соответствующего правила и не ошибались в знаках.

Учитель объясняет решение № 677 (г, д, е). Повторяются правила умножения рациональных чисел.

Решение:

Решить № 678 на доске и в тетрадях. Вызывать к доске сразу по трое учащихся, они самостоя­тельно решают на доске, остальные учащиеся самостоятельно решают в тетрадях, потом проверяется решение. Повторить правила сложения и умножения рациональных чисел и правила приведения подобных слагаемых.

Решение:

ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук

1. И.п. - о.с. 1 - поднять плечи. 2 - опустить плечи. Повторить 6-8 раз, затем пауза 2-3 с, расслабить мышцы плечевого пояса. Темп медленный.

2. И.п. - руки согнуты перед грудью. 1 - 2 - два пружинящих рывка назад согнутыми руками. 3 - 4 - то же прямыми руками. Повторить 4-6 раз. Темп средний.

3. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не поворачивать. По­вторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний.

2. № 680. Эти задания несколько сложнее, поскольку помимо применения правила умножения многочленов учащиеся должны помнить свойства степеней.

Решение:

а) ;

б) ;

в) 12a⁴ – a²b² – b⁴;

г) ;

д)

е) 56p³ – 51p² + 10p.

3. № 682 (а, в).

а) (х + 10)² = (х + 10) (х + 10) = х² + 10х + 10х + 100 = х² + 20х + 100;

в) (3а – 1)² = (3а – 1) (3а – 1) = 9а² – 3а – 3а – 1 = 9а² – 6а + 1.

4. Разобрать по учебнику решение № 742, с. 147, и записать в тетрадях:

IV. Итоги урока.

– Как умножить одночлен на многочлен?

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Какие знаки будут иметь слагаемые, полученные при умножении многочленов:

а) (х + у) (а – b); б) (n – m) (p – q)?

Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?

• Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

• Сообщение оценок учащимся

Домашнее задание: п.29 прочитать до примера 1, учить правило, №679; №681; №704

7класс УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН (4 ч) урок 2

Цели: продолжить формирование умения умножать многочлены; проверить уровень усвоения изучаемого материала.

Задачи: 1. Учить применять правило при выполнении упражнений; закрепить навыки приведения подобных слагаемых и правила действий с ра­циональными числами.

2. Развивать объяснять, строить логические цепочки решения, читать выражения, записывать, вычислительные навыки учащихся, образное и логическое мышление, устную и письменную речь учащихся.

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради

I. Устная работа.

1. Выполните умножение.

а) 3х² · 4х³; в) –0,4а² · (–2а⁴); д) –5у² (2у – 3);

б) –12y · y⁵; г) x (3x² + 1); е) 2p⁵ .

2. Сколько слагаемых получится со знаком «плюс» (+) и сколько со знаком «минус» (–) при умножении следующих многочленов: а) (2 + а) (х + 4); б) (с – 8) (1– d); в) (у – 4) (а² + 5); г) (–а – 3) (b – 2)? 3.Проверить по тетрадям решение задачи № 704

Решение: Пусть бригада должна была работать по плану х дней и изго­товить 54х деталей. Фактически бригада работала (х - 1) дней, из­готовляя 60 деталей в день.

Изготовила фактически 60(х - 1) дета­лей. Составим и решим уравнение:

Бригада работала 13-1 = 12 (дней). Ответ: 12 дней.

II. Работа по учебнику.

Разобрать решение примеров 1 и 2, с. 137 учебника. На этом уроке учащимся предстоит выполнить более сложные преобразования. Сначала необходимо рассмотреть примеры 1 и 2 из учебника.

1. № 683 (а, в, д, ж).

Важно, чтобы учащиеся осознали, что при умножении многочлена, содержащего т членов, на многочлен, содержащий п членов, в произведении должно получиться тп членов (до приведения подобных).

а) x³ + 2x²y – y³;

в) a³ – 2ax² – x³;

д) (a² – 2a + 3) (a – 4) = a³ – 4a² – 2a² + 8a + 3a – 12 = a³ – 6a² + 11a – 12;

ж) x³ + 3x² – 8x + 10.

2. Представьте в виде многочлена.

а) x² (x + 3) (x – 2); б) –2y³ (y – 1) (y + 4); в) (a + 1) (a – 2) (a + 5).

Решение:

а) x⁴ + x³ – 6x².

б) –8y⁵ – 6y⁴ + 8y³;

в) (a + 1) (a – 2) (a + 5) = (a² – 2a + a – 2) (a + 5) = (a² – a – 2) (a + 5) = a³ + 5a² – a² – 5a – 2a – 10 = a³ + 4a² – 7a – 10.

3. № 687 (а, в, д).

Важно, чтобы учащиеся были внимательны при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «–». Если это вызывает у них затруднения, то можно сначала выполнять умножение многочленов, а потом раскрывать скобки.

Решение:

в) + 9x = 9x;

д) (a – b) (a + 2) – (a + b) (a – 2) = a² + 2a – ab – 2b – (a² – 2a + ab – 2b) = a² + 2a – ab – 2b – a² + 2a – ab + 2b = 4a – 2ab.

4. № 689.

Решение: Согласно условию запишем выражение ac – bd:

ФМ для улучшения мозгового кровообращения

1. И.п. - стоя или сидя, руки на поясе. 1 - 2 - круг правой рукой назад с пово­ротом туловища и головы направо. 3-4 - то же левой рукой. Повторить 4-6 раз. Темп медленный.

2. И.п. - стоя или сидя, руки в стороны, ладони вперед, пальцы разведены. 1 - обхватить себя за плечи руками возможно крепче и дальше. 2 - и. п. То же налево. Повторить 4-6 раз. Темп быстрый.

3. И.п. - сидя на стуле, руки на пояс. 1 - повернуть голову направо. 2 - и. п. То же налево. Повторить 6-8 раз. Темп медленный.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Выполните умножение.

а) (a + 3) (b – 7); в) (x + 2) (x² – x – 3);

б) (3x² – 1) (2x + 1); г) –4 (y – 1) (y + 5).

2. Упростите выражение: 8p – (3p + 8) (2p – 5).

Вариант 2

1. Выполните умножение

а) (x + 4) (y – 5); в) (a – 3) (a² + a – 2);

б) (5y² + 1) (3y – 2); г) –3 (x + 4) (x – 1).

2. Упростите выражение: 5y² – (3y – 1) (5y – 2).

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Как перемножить три многочлена?

– Сколько слагаемых получится при умножении многочлена, содержащего т членов, на многочлен, содержащий п членов?

Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?

• Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

• Сообщение оценок учащимся

Домашнее задание: п.29 повторить правило, разобрать решение примеров 1и 2, №684; №686; №687(б, г).

7класс УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН (4 ч) урок 3

Цели: вспомнить определение тождества; рассмотреть слу­чаи доказательства тождеств.

Задачи: 1. Учить применять тождественные преобразования выражений для доказательства тождеств, закрепить навыки приведения подобных слагаемых.

2. Развивать умение объяснять, строить логические цепочки решения, читать выражения, записывать, вычислительные навыки учащихся, образное и логическое мышление, устную и письменную речь.

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради.

I. Устная работа. 1. Выполните умножение.

а) x² · 7x⁵; б) 2х (х² – 7х); в) –8а · 4а⁴; г) –4p⁴ ; д) –6y³ · ; е) –3п⁵ (п³ – 2п).

2. Сколько слагаемых получится со знаком «+» и сколько со знаком «–» при умножении многочленов:

а) (a + 2) (b + 5); б) (n² – 3) (m – 5); в) (х – 3) (у + 7); г) (–а – 2) (с – 4)?

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы: 1. задания на доказательство тождеств,

2. задания на доказательство утверждений о делимости, кратности и др.

Работа по учебнику.

1. Равенство, верное при любых значениях переменных, на­зывается тождеством.

2. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тожде­ством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, исполь­зуют тождественные преобразования выражений.

3. Для доказательства тождества:

   1. преобразуют его левую часть в правую или правую часть в левую;

   2. показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению;

   3. рассматривают разность между левой и правой частями равенства и доказывают, что разность равна нулю.

4. Разобрать решение примера 4, с. 137. Преобразовываем и левую, и правую части равенства и сравниваем полученные резуль­таты.

1-я группа. Прежде чем приступить к выполнению заданий этой группы, нужно вспомнить логику доказательства тождеств.

Для наглядности можно вынести на доску схему:

1) 2) 3)

То есть существует три основных приема доказательства тождеств:

1) преобразовать левую часть тождества в правую или правую часть тождества в левую;

2) показать, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению;

3) показать, что разность левой и правой части исходного равенства тождественно равна нулю.

1. № 690 (а), № 691 (а).

При доказательстве этих тождеств используется первый прием, то есть мы будем преобразовывать одну часть равенства до тех пор, пока она не станет тождественно равной другой части равенства.

2. № 692 (а).

При доказательстве этого тождества используется второй прием.

Решение: а) (x – 3) (x + 7) – 13 = (x + 8) (x – 4) – 2.

Преобразуем левую часть равенства:

Преобразуем правую часть равенства:

Получаем следующее: левая и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению, значит, исходное равенство является тождеством.

ФМ для снятия утомления с туловища и ног

1. И.п. - руки скрестить перед грудью. 1 - взмах правой ногой в сторону, руки дугами книзу, в стороны. 2 - и.п. 3 -4 - то же в другую сторону. Повторить 6-8 раз. Темп средний.

2. И.п. - стойка ноги врозь пошире, руки вверх - в стороны. 1 – полу присед на правой ноге, левую ногу повернуть коленом внутрь, руки на пояс. 2 - и.п. 3 - 4 - то же в другую сторону. Повторить 6-8 раз. И.п. - выпад левой ногой вперед. 1 - мах руками направо с поворотом туловища направо. 2 - мах руками налево с поворотом туловища налево. Упражнения выполнять размашисто, расслабленными руками. То же с выпадом правой ногой. Повторить 6-8 раз. Темп средний.

2-я группа

1. № 693.

Решение: а) Упростим данное выражение:

Получаем, что исходное выражение равно числу –36, значит, не зависит от переменной х.

б)

2. № 699 (а).

Решение: а) Упростим данное выражение:

Поскольку каждое слагаемое суммы 6п + 6 кратно 6, то и вся сумма кратна 6.

3. № 696.

Решение: Четыре последовательных нечётных числа можно записать в следующем виде:

а = 2п + 1, b = 2п + 3, с = 2п + 5 и d = 2п + 7.

Составим разность cd – ab: (2n + 5) (2n + 7) – (2n + 1) (2n + 3).

Преобразуем это выражение:
– 6n – 2n – 3 = 16n + 32 = 16 (n + 2). Очевидно, что полученное выражение кратно 16.

4. Решите задачу:

Из квадратного листа фанеры вырезали прямоугольную до­щечку, одна сторона которой на 1 см, а другая на 3 см меньше сто­роны квадрата. Найдите сторону квадратного листа фанеры, если площадь получившейся дощечки меньше площади листа на 21 см².

Решение:

Пусть сторона квадратного листа х см, тогда его площадь х² см ². Стороны прямоугольной дощечки (х - 1) см и (х - 3) см, площадь дощечки (х - 1) (х - 3) см². Составим и решим уравнение:

Сторона квадратного листа равна 6 см. Ответ: 6 см.

III. Итоги урока.

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Как перемножить три многочлена?

– Какие существуют приемы доказательства тождеств?

Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?

• Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

• Сообщение оценок учащимся

Домашнее задание: п.29 разобрать решение примеров 3и 4, №690(б); №692(б); №694; №695(б).

7класс УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН (4 ч) урок 4

Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмотреть применение данного умения при решении уравнений и текстовых задач; проверить уровень усвоения материала

Задачи: 1. Учить применять тождественные преобразования выражений при решении уравнений и текстовых задач;

2. Развивать умение объяснять, строить логические цепочки решения, читать выражения, записывать, вычислительные навыки учащихся, образное и логическое мышление, устную и письменную речь.

3. воспитывать аккуратность, ответственность, умение работать самостоятельно, интерес к изучению предмета.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

ХОД УРОКА

Организационный момент.

1. Проверка отсутствующих и готовности класса к уроку.

2.Сообщение темы и цели урока, запись на доске и в тетради.

I. Устная работа. Выполните умножение.

а) 2a³ · a⁵; б) 4а² (2а – 7); в) (а + 2) (b – 7); г) –0,7х² · 5х⁸; д) x (2x – 5x²); е) (х – 3) (2 – у); з) –3р⁴ (2р² – 5р³); ж) (2х² – 1) (х⁴ + 3); и) (–2 – п) (т – 5).

II. Формирование умений и навыков.

Задания можно разбить на две группы. 1-я группа – это задания, в которых требуется использовать умение выполнять умножение многочленов для решения уравнений. А во 2-ю группу войдут задачи на составление уравнений.

№ 697.

Решение:

б) (1 – 2х) (1 – 3х) = (6х – 1) х – 1;

1 – 3х – 2х + 6х² = 6х² – х – 1;

6х² – 5х + 1 – 6х² + х + 1 = 0;

–4х = –2;

х = . Ответ: .

г) (х + 4) (х + 1) = х – (х – 2) (2 – х);

х² + х + 4х + 4 = х – 2х + х² + 4 – 2х;

х² + 5х + 4 – х² + 4х – 4 = 0;

9х = 0;

х = 0. Ответ: 0.

№ 701.

Решение: Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1, 2п + 3, 2п + 5. Найдем произведение двух больших из них: (2п + 3) (2п + 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3). По условию разность между этими произведениями равна 76.

Составим и решим уравнение.

(2п + 3) (2п + 5) – (2п + 1) (2п + 3) = 76.

4п² + 10п + 6п + 15 – 4п² – 6п – 2п – 3 = 76;

8п + 12 = 76;

8п = 64;

п = 8.

Найдем числа: 2п + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.

2п + 3 = 2 · 8 + 3 = 19.

2п + 5 = 2 · 8 + 5 = 21.

Ответ: 17, 19 и 21.

2. № 702.

Решение: Пусть длина прямоугольника равна х см, тогда его ширина равна (35 – х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь х (35 – х) см².

Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х – 5) см, а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 – х) см. Тогда площадь нового прямоугольника стала (х – 5) (40 – х) см². По условию эта площадь на 50 см² больше, чем площадь данного прямоугольника.

Составим и решим уравнение:

(х – 5) (40 – х) – х (35 – х) = 50;

40х – х² – 200 + 5х – 35х + х² = 50;

10х – 200 = 50;

10х = 250;

х = 25.

Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда его ширина равна 10 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

В процессе решения задач сильным учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания на карточках.

Карточка № 1

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите, что значение выражения (16³ – 8³) (4³ + 2³) делится на 63.

3. Докажите, что произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.

Карточка № 2

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите, что значение выражения (125² + 25²) (5² – 1) делится на 39.

3. Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Решение заданий на карточках

Карточка № 1

1.

+ 56m³ – 7m⁴ + 12m – 32m² + 4m³ = 2m⁵ – 23m⁴ + 64m³ – 53m² + 12m.

2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:

(16³ – 8³) (4³ + 2³) = (2¹² – 2⁹) (2⁶ + 2³) = 2⁹(2³ – 1) · 2³ (2³ + 1) = 2¹² · 7 · 9 = 2¹² · 63.

Очевидно, что данное произведение делится на 63.

3. Пусть даны четыре последовательных целых числа: п, п + 1, п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (п + 2), а произведение крайних чисел равно п (п + 3).

Составим разность и упростим её: (п + 1) (п + 2) – п (п + 3) = п² + 2п + п + 2 – п² – 3п = 2.

Утверждение доказано.

Карточка № 2

1.

2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:

(125² + 25²) (5² – 1) = (5⁶ + 5⁴) (5² – 1) = 5⁴ (5² + 1) (5² – 1) = 5⁴ · 26 · 24 = 5⁴ · 2 · 13 · 8 · 3 = 5⁴ · 16 · 39.

Очевидно, что данное произведение делится на 39.

3. Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1, 2п + 3,
2п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + 3)², а произведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).

Составим разность и упростим её: (2п + 3)² – (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) – (2п + 1) (2п + 5) =
= 4п² + 6п + 6п + 9 – 4п² – 10п – 2п – 5 = 4.

Утверждение доказано.

ФМ для снятия утомления с плечевого пояса и рук

1. И.п. - о.с. 1 - поднять плечи. 2 - опустить плечи. Повторить 6-8 раз, затем пауза 2-3 с, расслабить мышцы плечевого пояса. Темп медленный.

2. И.п. - руки согнуты перед грудью. 1 - 2 - два пружинящих рывка назад согнутыми руками. 3 - 4 - то же прямыми руками. Повторить 4-6 раз. Темп средний.

3. И.п. - стойка ноги врозь. 1 - 4 - четыре последовательных круга руками назад. 5 - 8 - то же вперед. Руки не напрягать, туловище не поворачивать. По­вторить 4-6 раз. Закончить расслаблением. Темп средний

1. Решить задачу № 787 на доске и в тетрадях.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна х см, тогда площадь квадрата х² см ². Длина прямоугольника (х + 4) см, ширина прямоугольника (х - 5) см, площадь прямоугольника (х + 4) (х - 5) см ². По условию задачи известно, что площадь квадрата больше площади прямо­угольника на 40 см². Составим и решим уравнение:

Длина прямоугольника равна 24 см, а ширина 15 см, площадь прямоугольника 360 см².

Ответ: 360 см².

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а)

б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а)

б)

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Как перемножить три многочлена?

Рефлексия:

1) Что вызывало у вас затруднения в начале урока и что стало понятно в течение урока?

2) Какие моменты урока особенно понравились? Когда вам было неуютно? Почему?

• Общая характеристика знаний учащихся, определение положительных и отрицательных моментов.

• Сообщение оценок учащимся

Домашнее задание: п.29 ответить на вопросы с.143, № 698; № 700; № 703.