Уравнения высших степеней

Тема урока. Уравнения высших степеней (9 класс)

Цели урока

1. Выработать прочные навыки преобразования и решения разнообразных, довольно сложных алгебраических уравнений.

2. Создать целостное представление о теме, значительно расширить спектр задач, посильных учащимся.

3. Восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность.

4. Показать некоторые нестандартные приемы решения уравнений.

5. Рассмотреть основные методы, приемы, способы и подходы решения уравнений высших степеней.

6. Развивать у учащихся интерес к решению таких уравнений, видеть красоту решения.

7. Помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои математические способности и возможности.

8. Воспитывать чувство уверенности в себе, чувство удовлетворенности от успешно найденного решения той или иной задачи.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний

1. Общие сведения об алгебраических уравнениях.

Понятие алгебраического уравнения. Равносильность уравнений.

Следствия уравнений. Из истории решения алгебраических уравнений.

2. Деление многочлена на многочлен. Корни многочлена.

Деление многочленов нацело.Теорема Безу. Корни многочлена.

3. Основные способы решения алгебраических уравнений.

Способ разложения на множители (способ группировки и метод проб).

Способ введения новой переменной: а) решение симметрических и обобщенных возвратных уравнений, б) решение однородных уравнений,

в) решение уравнений вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = A, если a+d = c+b.

II. Вводная беседа. Общие сведения об алгебраических уравнениях

Даются общие сведения об алгебраических уравнениях n- ой степени: определение алгебраического уравнения, его степени, а также, что называется корнем уравнения. Рассматривается вопрос о количестве корней. Всякое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет n корней.

Идея доказательства основной теоремы принадлежит Даламберу(1717-1783). Строгое доказательство теоремы дано Гауссом(1777-1855).

Другая формулировка основной теоремы высшей алгебры:

Для любого уравнения вида а_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … +a₁x + a₀ = 0 cуществуют числа x₁, …, x_n такие, что имеет место равенство:

а_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … +a₁x + a₀ = а_n (x-x₁) ∙ … ∙ (x-x_n). Эти числа и являются корнями уравнения.

Вопросы нахождения решений алгебраических уравнений давно интересовали математиков. Уже в 16 веке были известны формулы для решения уравнений второй, третьей, четвертой степени. Поиски общих формул для решения уравнений более высоких степеней безуспешно велись до начала 19 века, когда был получен следующий удивительный результат: для n ≥ 5 нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения n-ой степени через его коэффициенты при помощи радикалов.

Доказательство невозможности отыскания общих формул для решения таких уравнений было получено Абелем (1802-1829). Существование уравнений с целыми коэффициентами, неразрешимых в радикалах установил Галуа (1811-1832).

III.Основные способы решения алгебраических уравнений.

При решении рациональных уравнений основными являются следующие методы: 1) разложение на множители; 2) введение новых

(вспомогательных) переменных.

Метод разложения на множители основан на следующей теореме:

Если f(x) = f₁(x) ∙ f₂(x) ∙ … ∙ f_n(x), то всякое решение уравнения f(x) = 0 является решением совокупности уравнений f₁(x) = 0; f₂(x) = 0; … f_n(x) = 0.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Таким методом можно решить следующие уравнения:

1) x³ + 2x² + 3x +6 = 0;

2) x⁴ + x³ + 3x² + 2x + 2 = 0;

3) x³ + 4x² – 24 = 0.

Это уравнение хорошо решается также методом подбора, с помощью которого отыскивается целый корень уравнения.

4) 21x³ + x² – 5x – 1 = 0.

Уравнения, левая часть которых представляет собой многочлен с целыми коэффициентами и свободным членом, равном 1 или -1, легко преобразуются в приведенные уравнения с помощью почленного деления на x в старшей степени (такое деление не приводит к потере корней, т.к. x=0 не является корнем такого уравнения) и последующей заменой 1/x на y.

5) 4x³ – 10x² + 14x – 5 = 0

Здесь применим еще один способ преобразования неприведенного уравнения в приведенное (приведенное уравнение имеет своими рациональными корнями только целые числа). Умножим обе части заданного уравнения на такое число, что коэффициент при x³ стал бы кубом некоторого целого числа. В нашем случае надо умножить на 2: 8x³ – 20x² + 28x – 10 = 0. Положим теперь y = 2x, тогда уравнение примет вид: y³ – 5y² + 14y – 10 = 0.

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку y = q(x)) и выражают f(x) через y, получая новое уравнение R(y) = 0. Решая его находят корни: y₁, y₂, …, y_n. После этого получают совокупность n уравнений q(x) = y₁; q(x) = y₂; …; q(x) = y_n, из которого и находят корни исходного уравнения.

Методом введения новой переменной решаются следующие уравнения.

1) x⁶ – 9x³ + 8 = 0;

2) (x² + x + 4)² + 8x(x² + x + 4) + 15x² = 0.

Заменой переменной решаются возвратные уравнения. Возвратным уравнением называется алгебраическое уравнение вида а₀xⁿ + a₁x^n-1 + … +a_n-1x + a_n = 0, если его коэффициенты , одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой:

3) 6x⁴ – 35x³ + 62x² – 35x + 6 = 0,

а также обобщенные возвратные уравнения:

4) 3x⁴ – 2x³ – 31x² + 10x + 75 = 0.

С помощью замены также эффективно решаются однородные уравнения. Уравнение вида Р(u,v) называется однородным уравнением степени k относительно u и v, если Р(u,v) однородный многочлен степени k, т.е. степень каждого его члена равна одному и тому же числу k:

5) (x² – x + 1)³ + 2x⁴(x² – x + 1) – 3x⁶ = 0;

Метод введения новой переменной применим и к решению уравнений вида: (x + a)(x + b)(x+c)(x+d) = A, если a+d = b+c или имеется равенство сумм других пар этих чисел.

Упражнения

1) 10x³ – 3x² – 2x + 1 = 0;

2) 6x³ - 13x² + 9x – 2 = 0;

3) 32x³ – 24x² – 12x – 77 = 0;

4) (x+1)(x² + 2) +(x + 2) (x² + 1) = 2;

5) x⁸ – 15x⁴ – 16 = 0;

6) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 15;

7) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =3.

IV.Проверка усвоения знаний.

В результате изученной темы учащиеся должны уметь:

- уверенно решать уравнения третьей и четвертой степеней, применяя изученные приемы и способы решения;

- хорошо владеть системой определений и алгоритмов.

Проверка усвоения знаний проводится в форме зачета, а также презентаций

и защиты проектов.

5