Урок 17. Случайная изменчивость. Примеры

Тема урока «Случайная изменчивость (примеры)»

Величины в жизни

Величины, с которыми мы сталкиваемся, обычно изменчивы, например :

• Время в пути от дома до школы
• Температура воздуха в течение дня
• Вес продукта (например, шоколадного батончика)
• Курс валюты
• Урожайность сельскохозяйственных культур

Вопрос классу :

• Приведите свои примеры изменчивых величин.

Что такое случайная изменчивость?

Случайная изменчивость — это непостоянство величины, обусловленное действием случайных причин (факторов), часть из которых может быть неизвестна.

Простыми словами :

• Величина не всегда одна и та же, потому что на неё влияют разные случайные обстоятельства.
• Эти обстоятельства могут быть разными в разные моменты времени.

Пример 1:

Напряжение в сети

• Номинальное напряжение в розетке — 220 В.
• Напряжение колеблется из-за включения/выключения электроприборов, нагрузки в доме и сети, потерь при передаче электричества.
• Включение холодильника, утюга, чайника — случайные моменты, влияющие на напряжение.
• Нагрузка в сети и потери при передаче непостоянны, что приводит к случайной изменчивости напряжения.

Пример 2:

Масса шоколадного батончика

• На упаковке указано: 50 г.
• Фактическая масса отличается из-за погрешности оборудования, влажности сырья, температуры, вибраций, погрешности весов при упаковке.
• Пример: 49,91 г, 50,0 2г, 48,81 г, 51,67 г, 49,85 г.
• Вывод: масса батончика — изменчивая величина из-за случайных причин.

Пример 3: Время в пути до школы

• У одного и того же ученика время в пути может быть разным: 15 минут, 20 минут, 18 минут, 25 минут и т. д.
• Причины: светофоры, пешеходы, машины, пробки, погода — случайные события.
• Вывод: время в пути — величина со случайной изменчивостью.

Пример 4:

Урожайность зерновых

• Урожайность зерновых в разные годы различается: 21,0; 12,8; 15,5; 19,8; 19,0; 25,0; 29,8 ц/га.
• Причины изменчивости: погода (дожди, засуха, град, заморозки), болезни растений, вредители, качество почвы, удобрений, техника.
• Вывод: урожайность — величина со случайной изменчивостью.

Пример 5:

Курс валюты

• Курс доллара к рублю меняется ежедневно из-за спроса и предложения на валюту, новостей, политики, экономики, решений Центрального банка, действий крупных игроков.

Как измеряют изменчивость?

Среднее арифметическое : показывает «центр» данных, среднее значение всех измерений.

Размах : разница между наибольшим и наименьшим значением, характеризует разброс данных.

Мода : самое частое значение в выборке, помогает выявить наиболее типичное значение.

Медиана : значение посередине, когда данные упорядочены, устойчива к выбросам.

Задача

Ученики 7‑го класса измерили время, которое тратят на дорогу до школы (в минутах), и получили такие данные:

25,30,22,40,24,28,26,32,27,35

1. Упорядочим ряд по возрастанию

Это нужно для расчёта медианы и удобства дальнейших вычислений:

22,24,25,26,27,28,30,32,35,40

2. Рассчитаем среднее арифметическое

Сложим все значения и разделим на их количество (10):

Задача

3. Найдём размах

Размах — это разница между наибольшим и наименьшим значениями:

Размах=40−22=18 мин

Вывод: время на дорогу варьируется в пределах 18 минут — от 22 до 40 минут. Это показывает заметную случайную изменчивость: кто‑то добирается быстро, кто‑то — дольше из‑за пробок, светофоров и т. д.

4. Найдём моду

Мода — число, которое встречается чаще всего. Посмотрим на ряд:

22,24,25,26,27,28,30,32,35,40

Каждое число встречается один раз — моды нет .

Вывод: нет какого‑то «типичного» времени дороги, которое повторялось бы у нескольких учеников.

Задача

5. Найдём медиану

Медиана — значение, которое делит упорядоченный ряд пополам.

У нас 10 чисел (чётное количество), поэтому медиана — среднее арифметическое двух центральных чисел (5‑го и 6‑го):

• 5‑е число: 27
• 6‑е число: 28

Вывод: половина учеников тратит на дорогу меньше 27,5 минут, другая половина — больше.

Медиана (27,5 мин) близка к среднему (28,9 мин), но немного меньше — это связано с тем, что одно большое значение (40 мин) «подтянуло» среднее вверх.

Что мы узнали о случайной изменчивости?

Среднее даёт общую картину, но может искажаться из‑за очень больших или маленьких значений (например, 40 мин).

Медиана менее чувствительна к выбросам и иногда точнее отражает «типичное» значение.

Размах показывает, насколько сильны колебания данных — большой размах говорит о высокой изменчивости.

Мода помогает найти самое частое значение, но если все числа уникальны, моды нет.

В реальных данных (как здесь) всегда есть случайная изменчивость — время, рост, оценки и т. п. редко бывают одинаковыми.

Статистика помогает её измерить и понять!

Случайная и систематическая изменчивость

• Случайная изменчивость: отклонения в разные стороны, причины — случайные факторы, среднее значение близко к номиналу
• Систематическая изменчивость: постоянное отклонение в одну сторону, причины — постоянные ошибки, среднее сильно отличается от номинала

Закрепление: Задания

• Приведите 3–4 примера случайной изменчивости из своей жизни.
• Для одного из примеров укажите возможные случайные причины изменчивости.
• Найдите среднее, размах, моду, медиану для данных.

Домашнее задание:

• Прочитать параграф 11 по теме «Случайная изменчивость» в учебнике.
• Выполнить задачи 87, 88, 89 на анализ изменчивости.
• (По желанию) Привести 2–3 своих примера случайной изменчивости и объяснить, почему они случайные.