Урок геометрии "Теорема Пифагора"

Учитель Фоменко Н.Г.

МОО «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1

Г. ЕНАКИЕВО»

• Какой треугольник называется прямоугольным?

• Как называются стороны прямоугольного треугольника?

• Какие из треугольников являются прямоугольными?

№ 1

№ 5

№ 2

№ 4

№ 3

• Чем является сторона АВ в треугольнике №2?

• Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой?

• Чем являются стороны АС и ВС в треугольнике №2?

• Какие стороны прямоугольного треугольника называются катетами?

C

B

F

E

D

A

• На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCFЕ?

• Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти

площадь многоугольника ABCFЕ?

• С помощью каких формул можно найти площадь квадрата и

площадь треугольника?

Сказка – задача:

Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса и была она настолько прекрасной, что затмевала красотой всех своих подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра завидовала принцессе и решила ей отомстить. Тогда она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, но все же, ей стало жалко принцессу, поэтому ведьма придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов.

И вот принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто мне смог расколдовать принцессу, несмотря на то, что отец ее Король пообещал отдать принцессу в жены тому, кто спасет ее от пут сна.

И вот, в один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на 40 шагов, поднимает голову и вдруг... башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса... Как же принц догадался, что от башни надо отойти на 40 шагов?

Для решения этой задачи необходимо знать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Проблема:

- найти соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ.

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ.

с

b

с² = а² + b²;

АВ² = АС² + СВ²;

а

ПИФАГОР САМОССКИЙ

Пифагор разгадал загадку египетского треугольника.

Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

С помощью такого треугольника египтяне строили прямые углы на местности.

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах этого треугольника.

Вероятно теорема Пифагора сначала была доказана для равнобедренного прямоугольного треугольника. Для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по 2 треугольника.

Значит, площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах этого треугольника.

а

b

Выполним

дополнительные

построения.

b

с

с

а

с

а

а

с

с

b

b

а

b

а

b

ЭТО

КВАДРАТ.

b

а

с

с

ЕГО ПЛОЩАДЬ

РАВНА

(а + b) ²

с

с

b

а

b

а

b

а

b

а

ЭТО

ТАКЖЕ

КВАДРАТ

с

с

ЕГО

ПЛОЩАДЬ

РАВНА С².

с

с

b

а

b

а

a

b

b

a

S = 1/2ab

b

a

a

b

²

²

( a + b ) = c + 4 * 1/2ab.

²

²

²

a + 2ab + b = c + 2ab.

²

²

²

c = a + b

Доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое « колесо с лопастями ».

Здесь: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Может быть предложено много и других доказательств теоремы Пифагора с помощью разложения квадратов на фигуры.

Ученические шаржи.

№ 483(а)

Дано:

∆ АВС

АС = 6 см

ВС = 8 см

Найти: АС

Решение:

А

?

В

С

По т.Пифагора: АВ² = АС² + ВС²

АВ = √ АС² + ВС² = √ 6² + 8² = √36 +64 = √100 = 10 см.

Ответ. 10 см

²

²

²

По т.Пифагора: АВ = АС + СВ

²

²

²

СВ = АВ - АС

СВ = √ АВ² - АС² = √ 50² - 30² =

√ (50 – 30)(50 + 30) = √ 20 * 80 =

√ 1600 = √ 16 * √ 100 = 4 * 10 = 40 см.

А

Ответ. 40см

С

В

40

• Для какого треугольника справедлива т.Пифагора?

• Как найти величину гипотенузы, если известны

катеты?

• Как найти величину катета, если

известен другой катет и гипотенуза?

В

• В прямоугольном треугольнике АВС с

прямым углом С, стороны АВ= 10 см,

АС= 8 см. Найдите ВС.

А

С

• В прямоугольнике АВКМ стороны АВ=3см ,

ВК=4см . Найдите длину диагонали АК.

В

К

А

М

Заканчиваю я сегодняшний урок, посвященный Пифагору и его знаменитой теореме, строчками из стихотворения Вебера «Пифагорова теорема»:

Не знаю, чем кончу поэму,

И как мне печаль избыть:

Древнейшую теорему

Никак я не в силах забыть.

Стоит треугольник как ментор,

И угол прямой в нем есть,

И всем его элементам

Повсюду слава и честь!

Доказать т.Пифагора по чертежу.