СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Урок "Комплексные числа"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Урок открытия новых заний для 10 класса, профильный уровень. 

Просмотр содержимого документа
«Урок "Комплексные числа"»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
печерская средняя школа

Урок алгебры и математического анализа по теме "Комплексные числа и арифметические действия над ними"

Методическая разработка урока


Степанова Татьяна Александровна учитель математики



Урок открытия новых знаний. Предназначен для обучающихся 10 класс. Продолжительность 45 минут. В конце урока обучающиеся должны знать понятие комплексного числа и уметь выполнять с ними 4 арифметических действия. На уроке применяются различные приемы ТРКМ. Для проведения урока необходим проектор. Также желательно распечатать заготовку таблицы каждому ученику. Она будет заполняться в течении урока.




"Комплексное число – это тонкое и поразительное
средство божественного духа,
почти амфибия между бытием и небытием".

Лейбниц Готфрид Вильгельм


Урок алгебры и математического анализа по теме "Комплексные числа и арифметические действия над ними"

Тип урока: открытия новых знаний

Вид урока: лекция, исследовательская работа, учебный практикум

Методы: наглядный, исследовательский, решение практических задач

Приемы: ТРКМ

Способ: коллективный.

Цель урока:

Изучение множества комплексных чисел, формирование навыков выполнения алгебраических действий над комплексными числами

Задачи урока:

  • вспомнить все числовые множества, изученные в основной школе

  • осознать необходимость введения множества комплексных чисел

  • научиться выполнять арифметические операции с комплексными числами.

План:

        1. Объявление темы урока, постановка целей и задач.

        2. Активизация познавательного интереса к уроку.

        3. Введем понятие комплексного числа.

        4. Арифметические операции для комплексных чисел (работа в парах).

        5. Решение заданий на выполнение действий с комплексными числами (самостоятельная работа, взаимопроверка).

        6. Рефлексия.

        7. Домашняя работа.


1. Объявление темы урока, постановка целей и задач.

Учитель: Здравствуйте, ребята. На доске записана тема урока. «Комплексные числа и действия над ними». Как думаете, о чем сегодня пойдет речь? Сформулируйте цель и задачи урока.

2. Активизация познавательного интереса к уроку

Использую прием «Корзина идей, понятий, имен», он позволяет выяснить все, что знают или думают ученики по обсуждаемой теме урока.

Ученики «накидывают» свои идеи, мысли, вспоминают множества чисел, которые изучали. Результат такой работы может быть оформлен в виде схемы, кроме последнего множества. Его мы добавим после введения понятия комплексного числа.

Учитель: Да ребята, сегодня вспомним числовые множества, с которыми познакомились в основной школе. Ваши одноклассники подготовили небольшой видеоматериал.

Презентация (на втором слайде переходим по ссылкам «натуральные числа», «рациональные числа», «действительные числа»)

А еще узнаем, что есть такое множество чисел, без которых невозможно обойтись в теории электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и др.

Давайте вспомним, что мы не могли до сих пор выполнять во множестве действительных чисел?

Ученики:

- извлекать квадратные корни из отрицательных чисел;

- находить корни квадратного уравнения, если дискриминант меньше нуля.

Учитель: Действительно, например:

х2 + 1 = 0

х2 - 2х +3 = 0

Пока мы не умеем решать такие уравнения, но скоро сможем это сделать во множестве комплексных чисел. Но для этого нужно научиться грамотно, выполнять действия с комплексными числами.

3. Введем понятие комплексного числа.

Презентация (на втором слайде переходим по ссылке «комплексные числа»)

Определение. Комплексным числом z называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.

z = a+ib, где аϵ R, bϵ R, i – мнимая единица

Это алгебраическая форма комплексного числа z.

Определение. Два комплексных числа z1 = a1 +ib1 и z2 = a2 +ib2 называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

a1 = a2; b1 =b2;

Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа:
(записываем в тетрадь)

1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1. Такой элемент называют мнимой единицей и обозначают i. (Обозначение предложил Эйлер в 18 веке)

i2 = -1

2. Множество комплексных чисел содержит все действительные числа.

3. Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законам арифметических действий.


4. Арифметические операции для комплексных чисел.

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Использую прием «Инсерт», он обеспечивает вдумчивое, внимательное чтение, делается зримым процесс накопления информации.

Ученики работаю по парам, с учебником. В процессе чтения § 32 учащиеся маркируют текст значками " V " - уже знал; " + " - новое; " - " - думал иначе; " ? " - не понял, есть вопросы. Затем заполняют таблицу кратко, обсуждают записи, внесённые в таблицу, задают вопросы учителю.

Арифметическое действие с комплексными числами

z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i

Сложение

z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

Вычитание

z = (a1 - a2) + (b1 - b2) i

Умножение

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i


1) Сложение.

Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2 , то есть  z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.

2) Вычитание.

 Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
z = (a1 - a2) + (b1 - b2) i.

3) Умножение.

Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.

У доски с подробными объяснениями записывает пример «сильный» ученик класса.

Даны комплексные числа z1 = 1 - 2i, z2 = 3 + i, z3 = -7i
Найти:

а) z1 + z2;    б) z1 – z2;    в) z1z2.

Решение.

а) z1 + z2 = (1 - 2i) + (3 + i) =1 - 2i +3 + i = (1 + 3) + (-2i + i) =4 - i;

б) z1 – z2 = (1 - 2i) - (3 + i) = 1 - 2i - 3 - i = (1 - 3) + (-2i - i) = – 2 - 3i;

в) z1z2 = (1 - 2i)∙ (3 + i) = 1∙3 - 2i∙3 + 1∙i - 2i∙i=  3 - 6i + i + 2 = 5 - 5i
(здесь учтено, что i2 = – 1).

5. Решение заданий на выполнение действий с комплексными числами

Закрепление полученных правил. У доски работают два ученика (1вариант- четные пункты и 2 вариант - нечетные пункты). Класс самостоятельно по вариантам. Затем взаимопроверка, обсуждение возникших затруднений.

1-8. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

1) (3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) + (5 + 3i).
3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) + (5 + i).
6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

9-14. Выполните умножение комплексных чисел:

9) (2 + 3i)(5 – 7i).
10) (6 + 4i)(5 + 2i).
11) (3 – 2i)(7 – i).
12) (– 2 + 3i)(3 + 5i).
13) (1 –i)(1 + i).
14) (3 + 2i)(1 + i).
4) Деление.

Как же выполнить деление комплексных чисел? Для этого введем понятие сопряженного числа. Ученики продолжают работу с учебником и заканчивают заполнять таблицу.

Арифметическое действие с комплексными числами

z1 = a1 + b1i

z2 = a2 + b2i

число z1 = a1 - b1i

сопряженное ему число z2 = a2 - b2i


Сложение

z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i


Вычитание

z = (a1 - a2) + (b1 - b2) i


Умножение

z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i


Деление

=


Определение. Числа z = a+ib и z = a - ib называются комплексно– сопряженными.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью. Произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

У доски с подробными объяснениями записывает пример «сильный» ученик класса.

 Выполнить деление:

Решение.

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;

(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.

Итак,
= + i

Закрепление полученных правил. У доски работают два ученика (1вариант - четные пункты и 2 вариант - нечетные пункты). Класс самостоятельно по вариантам. Затем взаимопроверка, обсуждение возникших затруднений.

15-20. Произведите деление комплексных чисел:

15) (2 + 3i):(5 – 7i).
16) (6 + 4i):(5 + 2i).
17) (3 – 2i):(7 – i).
18) (– 2 + 3i):(3 + 5i).
19) (1 –i):(1 + i).
20) (3 + 2i):(1 + i).

Рефлексия

Учитель: Итак, есть ли вопросы по изученной теме? (на заданные вопросы, ответы стараются дать сами ученики)

Подведем итог нашего урока (использую прием «шесть шляп»)

Учащихся делю на группы и предлагаю «приобрести» одну из шляп. Обладателям шляп необходимо дать оценку результатам урока в зависимости от цвета шляпы.

Белая шляпа символизирует конкретные суждения без эмоционального оттенка.

Желтая шляпа – позитивные суждения.

Черная – отражает проблемы и трудности.

Красная – эмоциональные суждения без объяснений.

Зеленая – творческие суждения, предложения.

Синяя – обобщение сказанного, философский взгляд.

Домашнее задание

1. § 32. № 32.10, 32.19, 32.35

2. Подготовить сообщения по темам:

«Комплексные числа в экономике»

«Комплексные числа в физике и технике»

«Перспективы применения комплексных чисел»

3. Напишите синквейн для понятия «комплексное число»


Литература:

  1. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;

  2. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник.



Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!