Урок на тему: Критические точки функции, ее максимумы и минимумы

Тема урока: Критические точки функции, ее максимумы и минимумы

(2 курс, 2 ч)

   Цели:  ввести понятие критических точек функции,  точек максимума и минимума функции;  рассмотреть необходимое и достаточное условие существования экстремума, признаки максимума и минимума функции;  алгоритм исследования функции на экстремум; способствовать выработке навыка отыскания экстремумов функции; развитию логического мышления учащихся.

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа под ред. А.Н. Колмогорова, дидактические материалы, таблицы.

Ход  урока

1. Повторение «Мозговой штурм»:

 Задание: найти производную.

1. Объяснение нового материала

1. Определение критических точек функции.

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума).

3. Признак максимума функции, признак минимума функции (достатчное условие существования экстремума в точке).

4. Записать правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

          а) найти область определения функции;

          б) найти производную f '(x);

          в) найти точки, в которых выполняется равенство f '(x) =0;

          г) найти точки, в которых f '(x) не существует;

          д) отметить на координатной прямой все критические точки и область  

            определения функции y=f(x); получатся  промежутки области определения  

            функции, на каждом из которых производная функции у= f(x) сохраняет

            постоянный знак;

          е) определить знак у' на каждом из промежутков, полученных в п. (д);

          ж) сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из

             критических точек в соответствии с достаточным условием экстремума.

5. Исследовать на экстремум функцию у= 2х³ -15х²+36х+1

Решение:

а) D(y) =R;

б) y'= 6х²-30х+36;

в) из уравнения  6х²-30х+36=0 находим х₁=2, х₂=3;

г) y' существует при всех х;

д) отметим точки  х₁=2, х₂=3 на координатной прямой:

е) у' = 6(х-2)(х-3). Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке;

ж) при переходе через точку х=2 слева направо производная у' меняет знак с «+» на «-», значит х=2- точка максимума; при переходе через точку х=3 производная у' меняет знак с «-» на «+», значит, х=3- точка минимума.    В точке х=2 имеем у_max =29; в точке х=3 имеем у_min=28.

3. Выполнение упражнений из учебника

4. Самостоятельная работа)

Вариант 1. Определите точки экстремума функции g(x)= 1/3 х³-х.

План решения:

1. Найдите производную функции g.

2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение  g'(x) =0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).

3. Установите знак производной в каждом из промежутков, на которые критические точки делят область определения функции.

1. Запишите ответ.

Вариант 2. Найдите точки экстремума функции у=(х-2)².

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение у´=0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).

3. Установите знак производной в окрестности критической точки.

4. Для каждой из критических точек проверьте выполнение достаточных условий точек максимума и минимума.

5. Запишите ответ.

Вариант 3. Найдите точки экстремума функции у= х³-3х²+2.

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Определите критические точки функции.

3. Установите знак производной в окрестностях критических точек.

4. Проверьте выполнение достаточных условий точек экстремума, используя результат п.3 плана.

5. Запишите ответ.

Вариант 4. Найдите точки экстремума функции у= х/(х-4).

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Найдите критические точки функции.

3. Определите знак производной в окрестностях критических точек.

4. Примените достаточное условие точек экстремума.

5. Запишите ответ.

5. Повторение изученного материала:

1. Какая точка называется точкой максимума?  (Точка, в которой производная меняет знак с + на -).

2. Какая точка называется точкой минимума?  (Точка, в которой производная меняет знак с - на +).

      3) Каково поведение функции, если f′(x) 0?             (Возрастает).

4) Каков характер монотонности функции на некотором промежутке слева (справа) от точки максимума (минимума)?

1. Итог урока

Самоанализ урока

В группе 22СВ-212 по теме “Критические точки функции”

Урок по данной теме занимает место в системе уроков в разделе “Производная и ее применение”.

Тип урока: изучение нового материала.

При планировании учтены реальные учебные возможности учащихся 10 класса.

Урок связан с предыдущими (используются понятия нулей функции, промежутков знакопостоянства, точек максимума и минимума) и изученный материал является необходимым для доказательства необходимым для доказательства достаточного условия экстремума функции.

В ходе проведения занятия осуществлялось единство обучающей, развивающей и воспитывающей функций урока.

Выбранная структура урока соответствует содержанию учебного материала, логично осуществлялся переход от одного этапа к другому. Выделялись главные, существенные, важные понятия.

При изучении нового материала ставились проблемы перед учащимися, помогающие активизировать учебно-познавательную деятельность.

С целью контроля знаний учащихся использовались различные методы: устный опрос, карточки индивидуальных заданий с заданиями различного уровня сложности.

Обращалось внимание на развитие познавательных интересов; перед доказательством теоремы Ферма перед учащимися был поставлен проблемный вопрос о значении производной в критической точке функции.

Задание “Найди ошибку” позволяет активизировать мыслительную деятельность, способствует анализу, синтезу, обобщению.

Урок по данной теме достиг поставленных целей, носил обучающий характер, методы обучения соответствовали выбранному типу урока.

Приложение 1

Вариант 1. Определите точки экстремума функции g(x)= 1/3 х3-х.

План решения:

1. Найдите производную функции g.

2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение g'(x) =0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).

3. Установите знак производной в каждом из промежутков, на которые критические точки делят область определения функции.

4. Запишите ответ.

Вариант 2. Найдите точки экстремума функции у=(х-2)2.

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Определите критические точки функции (т.е. решите уравнение у´=0 и найдите точки, если такие есть, в которых производная не существует).

3. Установите знак производной в окрестности критической точки.

4. Для каждой из критических точек проверьте выполнение достаточных условий точек максимума и минимума.

5. Запишите ответ.

Вариант 3. Найдите точки экстремума функции у= х3-3х2+2.

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Определите критические точки функции.

3. Установите знак производной в окрестностях критических точек.

4. Проверьте выполнение достаточных условий точек экстремума, используя результат п.3 плана.

5. Запишите ответ.

Вариант 4. Найдите точки экстремума функции у= х/(х-4).

План решения:

1. Найдите производную функции.

2. Найдите критические точки функции.

3. Определите знак производной в окрестностях критических точек.

4. Примените достаточное условие точек экстремума.

5. Запишите ответ.