Урок «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Урок геометрии в 8 классе

Титова Л.П.

МБОУ «Верхнеуратьминская ООШ», с. Верхняя Уратьма, Нижнекамский район, РТ

Тема: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

Цели урока:

Исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника и научиться их применять при решении задач.

Задачи:

образовательные:

1.Ввести понятия синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. 
2.Выработать умение применять эти понятия при решении задач.

3.Доказать справедливость основного тригонометрического тождества и рассмотреть его применение

развивающие:

1.Развитие памяти, внимания, логического мышления.

2.Развитие учебно-познавательной компетенции.

воспитательные:

1.Формирование коммуникативной культуры.

2.Воспитание дисциплинированности, собранности требовательности к себе при организации рабочего труда учащегося.

Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися.

Формы работы учащихся: фронтальная и индивидуальная.

Ход урока

1.Ещё в древности у людей появилась потребность научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами и углами в треугольнике. Слово «тригонометрия» в переводе с греческого языка означает «измерение треугольников».

Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?

Цель нашего урока: исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете решать новые задачи.

Записываем тему урока: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника». 

2. Актуализация опорных знаний.

• Какие могут быть углы?

• Что такое треугольник?

• Основные элементы определяющие треугольник?

• Какие бывают треугольники в зависимости от сторон?

• Какие бывают треугольники в зависимости от углов?

• Чему равна сумма углов треугольника?

• Как называются стороны прямоугольного треугольника?

• Что такое гипотенуза и катеты?

• Какие соотношения между сторонами и углами треугольника вы знаете?

1.Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника:

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

2.Сформулируйте следствие о величине гипотенузы и катета в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

3.Сформулировать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30°: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

4.Сформулируйте соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Кстати:

Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».

Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».

3. Изучение нового материала.

1.Введем понятия противолежащего и прилежащего катетов в прямоугольном треугольнике.

Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным .

В

С А

Выделите красным цветом угол А и катет ВС.

Выделите зеленым цветом катет АС и угол В, а синим гипотенузу АВ.

АВ – гипотенуза

ВС – катет, противолежащий углу А ВС – катет, прилежащий углу В

АС – катет, прилежащий углу А АС – катет, противолежащий углу В

Катет, лежащий против острого угла, называется противолежащим

Катет, выходящий из острого угла, называется прилежащим.

Устно:

Назовите катет, прилежащий к углу О и катет, противолежащий углу О.

Назовите катет, прилежащий к углу Т и катет, противолежащий углу Т.

Назовите катет, прилежащий к углу А₁ и катет, противолежащий углу А₁.

Назовите катет, прилежащий к углу В₁ и катет, противолежащий углу В₁.

2.Теперь введем понятие синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, и их обозначения.

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Найдем отношение синуса угла А к его косинусу:

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Первичная проверка понимания.

Найти:

Сравните значения синуса, косинуса и тангенса углов и сделайте вывод.

sin A = cos В cos A = sin В tg A = 1 / tg В

Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и острый угол, находить две другие стороны:

a = c sin α b = c cos α a = b tg α

Физкультминутка для глаз.

Д окажем, что если острый угол одного треугольника

равен острому углу другого треугольника, то

• синусы этих углов равны

• косинусы этих углов равны

• тангенсы этих углов равны

Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С₁ и равными острыми углами А и А₁. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Меняя местами в данных пропорциях крайние члены, получим , т.е. sin A = sin A₁. Аналогично , т.е. cos A = cos A₁, и

, т.е. tg A = tg A₁.

Докажем теперь справедливость равенства sin²A + cos²A = 1

Используя формулы синуса и косинуса получаем:

sin²A + cos²A =

по теореме Пифагора BC² + AC² = AB², отсюда следует sin²A + cos²A = 1. Данное равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

4. Закрепление нового материала.

№591(а, в), 592(а, г, е), 593(а, г)

IV. Итог урока: 
Подведем итоги нашего урока с помощью кроссворда:

Домашнее задание: п. 66, №591(б, г), 592(б, в, д), 593(б, в)

V. Выставление оценок за урок.