Всё о прямоугольном треугольнике

• Основные понятия.
• Основные понятия.
• Основные понятия.
• Основные понятия.
• Основные понятия.

• Определение прямоугольного треугольника.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, один из углов которого равен 90º.

• Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
• Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса –это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
• Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащий противоположную сторону.
• Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

• Признаки равенства прямоугольных треугольников.
• Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равен катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

• Прямоугольные треугольники

• Свойства прямоугольного треугольника.
• Если в прямоугольном треугольнике углы, прилежащие к гипотенузе равны 45º, то этот треугольник равнобедренный.
• В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30º, равен половине гипотенузы.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

• Площадь прямоугольного треугольника.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• Формула S = ( ab ) / 2 .
• Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его стороны.
• Формула: S = a ² / 2.

• Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

• с² = а² + b ²
• Теорема, обратная теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадрата двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

• Из теоремы, обратной Пифагора следует:
• Прямоугольными треугольниками являются треугольники со сторонами 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17 и 7,24,25.
• Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
• Треугольники со сторонами 3,4,5 называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам.

Рисунок, иллюстрирующий теорему Пифагора ( a + b) ² = 4 (0,5ab) + c ²

Пропорциональные отрезки в

прямоугольном треугольнике.

• Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD , если

________

XY = √ AB • CD

• 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высоты.

_______

CD = √ AB • DB

• 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

________

• AC = √ AB • AD

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (иллюстрация и формулы) h = ( ab ) /c a ² / a c = b ² / b c * AD = b c, BD = a c

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
• Для треугольника ABC :
• sin А = BC / AB
• cos А = AC / AB
• tg А = BC / A С

Основные тригонометрические тождества:

• tg А = sin А / cos A

• sin ² А + cos ² А = 1

Таблица значений sin A , cos A , tg A для углов А, равных 30º, 45º,60º.

А

30º

Sin А

1 / 2

45º

Cos А

Tg А

60º

√ 2 / 2

√ 3 / 2

√ 3 / 3

√ 3 / 2

√ 2 / 2

1/2

1

√ 3

• Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность.
• Теорема о вписанном угле.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие.

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

• *Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.
• Так как градусная мера окружности равна 360º, следовательно градусная мера полуокружности равна 180º.
• ‹ А CB = 1 / 2 ○А B
• Медина, проведенная к гипотенузе, равна радиусу окружности, описанной около прямоугольного треугольника, то есть половине гипотенузы.

Иллюстрация прямоугольного треугольника, вписанного в окружность.