Взаимно обратные функции.
Пусть функция
строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения
, область значений этой функции
, тогда на интервале
определена непрерывная строго монотонная функция
с областью значений
, которая является обратной для
.
Другими словами, об обратной функции
для функции
на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале
либо возрастает, либо убывает.
Функции f и g называют взаимно обратными.
Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?
Это вызвано задачей решения уравнений
. Решения как раз и записываются через обратные функции.
Рассмотрим несколько примеров нахождения обратных функций.
Начнём с линейных взаимно обратных функций.
Найти функцию, обратную для
.
Эта функция линейная, её графиком является прямая. Значит, функция монотонна на всей области определения. Поэтому, искать обратную ей функцию будем на всей области определения.
.
Выразим x через y (другими словами, решим уравнение
относительно x).
- это и есть обратная функция, правда здесь y – аргумент, а x – функция этого аргумента. Чтобы не нарушать привычки в обозначениях (это не имеет принципиального значения), переставив буквы x и y , будем писать
.
Таким образом,
и
- взаимно обратные функции.
Приведём графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.
Очевидно, что графики симметричны относительно прямой
(биссектрисы первой и третьей четверти). Это одно из свойств взаимно обратных функций, о которых речь пойдёт ниже.
Найти функцию, обратную
.
Эта функция квадратная, графиком является парабола с вершиной в точке
.
.
Функция возрастает при
и убывает при
. Значит, искать обратную функцию для заданной можно на одном из двух промежутков.
Пусть
, тогда
, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию на заданном промежутке:
.
Проиллюстрируем это на графике.
Найти функцию, обратную
.
Эта функция кубическая, графиком является кубическая парабола с вершиной в точке
.
.
Функция возрастает при
. Значит, искать обратную функцию для заданной можно на всей области определения.
, и, меняя местами х и у, получаем обратную функцию
.
Проиллюстрируем это на графике.
Перечислим свойства взаимно обратных функций
и
.
Для заданной функции найдите обратную функцию:
Для заданной функции найдите обратную и постройте графики заданной и обратной функции:
Выясните, существует ли обратная функция для заданной функции. Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функции:
Найдите область определения и область значений функции
, обратной для функции
, если:
-
-
-
-
Найдите область значений каждой из взаимно обратных функций
и
, если указаны их области определения:
-
-
-
-
Являются ли функции взаимно обратными, если:
-
-
-
-
Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одной системе координат графики этих взаимно обратных функций:
Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе:
Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:
-
-
-
-
Задайте функцию, обратную данной и постройте её график:
Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков. Если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте её аналитически, укажите её область определения и область значений, постройте её график.
 на  на  на  на  |  на  на  на  на  |  на  на  на  на  |  на  на  на  на  |
На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:
на
; на
на
;
на
; на
на
;
на
; на
на
;
на
; на
на
;
Даны взаимно обратные функции
и
.
. Решите уравнения: 
. Решите уравнения: 
. Решите уравнения: 
. Решите уравнения:
Постройте график функции и определите, существует ли для неё обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте её аналитически.
Дана функция
, график которой изображён на рисунке. Постройте график обратной функции и найдите области определения и области значений обоих функций.
2