Задачи на движение по реке

Задачи на движение по реке, решаемые с помощью уравнения

При решении таких задач необходимо учитывать следующее:

1. За х принимаем или собственную скорость объекта (скорость в стоячей воде), или скорость течения реки.

Переменную х вводим в зависимости от условия задачи. Если известна скорость течения реки, то за х принимаем собственную скорость объекта. Если известна собственная скорость объекта, то за х принимаем скорость течения реки. Если неизвестны обе скорости, то вводим две переменные. Если обе скорости известны, то за х принимаем то, что неизвестно по условию задачи.

1. Составляем таблицу об объектах, о которых говорится в условии задачи

1. В таблице заполняем столбик «Скорость», учитывая, что

Скорость по течению = собственная скорость + скорость течения реки.

Скорость против течения = собственная скорость – скорость течения реки.

Скорость плота= скорости течения реки.

Скорость по озеру= собственной скорости объекта.

4) Заполняем по условию задачи еще один столбик

5) по таблице заполняем незаполненный столбик, учитывая

Время = расстояние : скорость

Расстояние = скорость * время

6) по последнему заполненному столбику составляем уравнение, учитывая условие задачи.

Рассмотрим примеры задач.

Задача 1. Спортивная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч

Решение.

1. Пусть х км/ч собственная скорость лодки

2. Таблица

По условию задачи спортивная лодка на путь по течению и на путь против течения затратила 14 часов. Составим и решим уравнение.

+ = 14.

х 2, х 2

45(х-2) + 45(х+2) = 14(х-2)(х+2),

45х-90 + 45х +90 = 14(х² -4),

90х=14(х² -4),

45х=7(х² -4),

7х² -45х- 28=0,

Д= 2809,

х₁= , х₂=7.

По смыслу задачи, скорость величина положительная, этому условию удовлетворяет число 7. Итак, собственная скорость спортивной лодки 7 км/ч.

Ответ: 7 км/ч

Задача 2. Лодка может проплыть 18 км по течению реки и еще 2 км против течения за то же время, какое потребуется плоту, чтобы проплыть 8 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч.

Решение.

1Пусть х км/ч скорость течения реки

1. Таблица

По условию задачи время лодки в пути и плота одно и то же. Составим и решим уравнение.

=

х 8, х 8. х 0,

18х(8-х) +2х(8+х)= 8(8-х)(8+х),

9х(8-х) +х(8+х)= 4(64-х²),

72х – 9х² +8х+ х²= 256 – 4х².

4х² -80х +256= 0,

х² – 20х+ 64= 0,

х₁=4, х₂ = 16.

Оба корня удовлетворяют уравнению. По смыслу задачи скорость течения реки должна быть меньше собственной скорости лодки, этому условию удовлетворяет число 4. Итак, скорость течения реки 4 км/ч .

Ответ: 4 км/ч

Задача 3. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 часов. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением планируют пробыть на берегу 3 час?

Решение.

1. Пусть на х км группа туристов может отплыть по реке.

2) Таблица

По условию задачи группа туристов должна вернуться назад через 5 часов, затратив время на движение по течению реки и против течения реки и отдых на берегу 3 часа. Составим и решим уравнение

, ,

3х+5х= 60,

8х=60,

2х=15,

х=7,5

На 7,5 км группа туристов может отплыть по реке.

Ответ 7,5 км

Задача 4. За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 часов прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение.

1. Пусть х км/ч собственная скорость лодки, у км/ч – скорость течения реки

2. Таблица

По условию задачи катер в первый раз на путь по течению и на путь против течения затратил 7 часов. Получим уравнение

Катер во второй раз на путь по течению и на путь против течения затратил 7 часов. Получим уравнение

Составим и решим систему уравнений.

Ответ:18 км/ч; 2 км/ч