Задачи на клетчатой бумаге

S = ½ (a + b)h

S = ½ d₁d₂

Формула Пика.

S = ½ ab

Цель работы:

О босновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

3) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать результаты исследования.

• Объект исследования: формула Пика.
• Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.
• Методы исследования: сравнение, обобщение.

Типы задач В5

• Задачи на формулы площади.
• Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.
• Задачи на понятие координатной плоскости.
• Задачи на векторы.
• Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.

Способ 1

Подсчет по клеточкам;

Способ 2

1) достроить фигуру до

прямоугольника или

прямоугольного треугольника

2) Найти S 1 полученной фигуры (прямоугольника или треугольника)

3) Найти S 2 добавленных частей

4) Вычесть S 1 – S 2 получим S нужной фигуры.

Способ 3

• Вычислить площадь, разбив фигуру на части, площади которых можно легко найти и сложить площади частей.  

Способ 4

• По формуле.

Этот способ  используется тогда, когда чётко видно, что за фигура и легко найти величины для вычисления S

Георг Алекса́ндр Пик  

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В

частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических  и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений 

и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика,

интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца - Пика. Широкую известность

получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

10.08.1859 – 13.07.1942

Решетки .Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих

плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих

прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами

точки – узлами решетки.

  Формула Пика

• Пусть В — число целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на его границе,  S  — его площадь. Тогда справедлива  формула Пика :

В = 9

Г = 8

S = 12

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

Рисунок

По формуле геометрии

a=6 ; h=5 .

S =1/2 6 5=15

По формуле Пика

Г=12 ; B =10 .

S =10+12/2 -1=15

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырехугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах .

Рисунок

По формуле геометрии

S KMEN =7 7=49

S ∆AKB =1/2 KB AK=1/2 4 4=8

S ∆AKB =S ∆DCE =8

S ∆AND = 1/2 ND AN=1/2 3 3=4,5

S ∆AND =S ∆BMC =4,5

S пр =S KMEN - S ∆AKB - S ∆DCE -

S ∆AND - S ∆BMC =49-8-8-4,5-4,5=24

По формуле Пика

Г=14;В=19.

S= 18+14/2-1=24

6)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен

четырех угольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах

S 1 = 1/2 3 6 = 9

S 2 = 1/2 6 6=18

S 3 = 1/2 3 6 = 9

S= 9 +18+ 9 = 36 см ²

Г =18; В =28.

S=28+ -1= 36см²

Заключение

В процессе исследования

• Изучила справочную, научно-популярную литературу
• В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии
• Применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге быстро и легко. Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике.

Литература

• Формулу Пика – Интернет-сайты
• Демо-версия ЕГЭ-2014
• Тренировочные задания для ЕГЭ по математике