«Задачи на клетчатой бумаге. Формула Пика»

Площадь фигуры. Задачи на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Формула Пика

Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.

Но тут нас ждёт много хлопот. Можно «схитрить»:

вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш

Рис. 1

многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.

Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться.

Оказывается площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта простая формула называется формулой Пика.

Пусть АВСD – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).

Обозначим через В количество узлов , лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую

Рис. 2

клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + - 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 .

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Задача 1. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1.

Решение.

В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + - 1 .

S = 14 + 8/2 – 1 = 17

Ответ: 17 кв. ед.

Можно убедиться в том, что формула Пика верна для всех рассмотренных примеров.

Оказывается, что если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика.

Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка 3, используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!

Рис. 3

Рассмотрим ещё некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см

Задача 2.

Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Рис. 4 Ответ: 10 см².

Задача 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Рис. 5

Задача 4. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Рис. 6

Задача 5. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7)

Р ешение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Рис. 7

Рассмотренные задания аналогичны заданию из вариантов контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по математике.

Например:

Задача 6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (рис. 8). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. По формуле Пика: S = В + - 1 .

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)

Ответ: 14

Рис. 8

Задача 7. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция (рис. 9). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Решение. Воспользуемся формулой Пика:

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5

Рис. 9

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 8. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Рис. 10

Задача 9. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

Рис. 11

Задачи на квад­рат­ной решетке

1. Най­ди­те тан­генс угла .

2.. Най­ди­те тан­генс угла .

3. Най­ди­те тан­генс угла .

4. Най­ди­те бис­сек­три­су тре­уголь­ни­ка , про­ве­ден­ную из вер­ши­ны , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

5. Най­ди­те ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка , про­ве­ден­ную из вер­ши­ны , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

6. Най­ди­те вы­со­ту па­рал­ле­ло­грам­ма , опу­щен­ную на сто­ро­ну , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

7.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A и B. Най­ди­те длину от­рез­ка AB.

8. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки изоб­ражён угол. Най­ди­те его гра­дус­ную ве­ли­чи­ну.

9. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его сред­ней линии, па­рал­лель­ной сто­ро­не AB.

10. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на сто­ро­ну AB.

11. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те длину его ме­ди­а­ны, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны точки A, B и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BC.

13. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус опи­са­нной около него окруж­но­сти.

14. Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

15. Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Задачи на отработку навыков нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге при подготовке к ЕГЭ (по материалам сайта Решу ЕГЭ).

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10
№11 №12 №13 №14

Список литературы

1. Вавилов В.В, Устинов А.В. Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

3. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

4. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2014.

5. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.