Задание 23 ОГЭ. Параболы.

ЗАДАНИЕ 23 ОГЭ.

ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ.

ПАРАБОЛЫ

1. (49) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Найдём область определения данной функции. Т.к. знаменатель не может равняться нулю, то . Значит,

.

Упростим выражение, задающее функцию. Для этого разложим на множители числитель. Воспользуемся методом разложения на множители с помощью квадратного уравнения.

Выполним замену переменной:

Используя теорему Виета, находим корни:

Тогда, ,

Значит, .

.

Итак, исходная функция, после упрощения, имеет вид:

. Это квадратичная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке ; ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на ед. отрезка вправо, и вдоль оси Оу на ед. отрезка вниз.

Так как область определения функции не содержит значения , то, для того, чтобы выколоть точки на графике, которые не удовлетворяют области определения, найдём ординаты этих точек:

Значит, на графике выкалываем точки .

Прямая проходит через точку параллельно оси Ох, она будет пересекать параболу только в одной точке, если она проходит либо через вершину параболы, т.е. либо через выколотые точки, т.е. .

Ответ: .

1. (338207) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Найдём область определения данной функции. Т.к. знаменатель не может равняться нулю, то . Значит,

.

Упростим выражение, задающее функцию. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель методом вынесения за скобки общего множителя.

Итак, исходная функция, после упрощения, имеет вид:

. Это квадратичная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке ; ветви направлены вниз, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на ед. отрезка вниз.

Так как область определения функции не содержит значения , то, для того, чтобы выколоть точки на графике, которые не удовлетворяют области определения, найдём ординаты этих точек:

Значит, на графике выкалываем точки .

Прямая проходит через точку параллельно оси Ох, она будет пересекать параболу ровно в двух точках, если она не проходит через точки , причём, , т.е. .

Ответ:

1. (338408) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

Найдём область определения данной функции. Т.к. знаменатель не может равняться нулю, то . Значит,

.

Упростим выражение, задающее функцию.

Итак, исходная функция, после упрощения, имеет вид: . Это квадратичная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке ; ветви направлены вниз, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на ед. отрезка вниз.

Так как область определения функции не содержит значение , то, для того, чтобы выколоть точку на графике, которая не удовлетворяют области определения, найдём ординату этой точки:

Значит, на графике выкалываем точку .

является прямой пропорциональностью, её графиком прямая, проходящая через точку . Она будет пересекать параболу ровно в одной точке, если:

1) уравнение будет иметь только одно решение, т.е. если дискриминант будет равен нулю;

2) уравнение имеет два решения, одно из которых равно 1 (абсцисса выколотой точки), т.е. дискриминант положителен, и .

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1)

Т.к. , то

Значит, прямая пересекает параболу в одной точке, если она задана формулой или .

2) Т.к. , то

По теореме Виета

Значит, прямая, пересекающая параболу в одной точке задана формулой .

Итак, прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку при

Ответ:

1. (341342) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение.

Найдём область определения данной функции. Т.к. знаменатель не может равняться нулю, то . Значит,

.

Упростим выражение, задающее функцию.

Тогда

1). Если , то – квадратная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции сжатием к оси Ох в 2 раза.

Так как , то , т.е. выколотая точка имеет координаты .

2). Если , то - квадратная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вниз, т.к. . График этой функции получается из графика функции сжатием к оси Ох в 2 раза.

Поскольку график располагается в двух полуплоскостях от оси Ох, то единственный случай, когда прямая не имеет с этим графиком ни одной общей точки, это тот случай, когда прямая, параллельная оси Ох проходит через выколотую точку, т. е. через точку . В это случае и .

Ответ: 8

1. (341394) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение.

Если , то . Это квадратичная функция, графиком является парабола, с вершиной в точке , ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на 4 ед. отрезка влево.

Если , то . Это обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная во II и IV четверти, т.к. . Но т.к. , то в нашем, конкретном, случае гипербола будет располагаться только во II четверти и проходить через точки .

По графику определяем, что прямая будет иметь с графиком данной функции одну или две общие точки, если , а также, если (т.к. гипербола не пересекает ось Ох).

Ответ: .

1. (340852, 338714, 353418) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

Решение.

Для того, чтобы найти общую точку графиков двух функций, нужно решить уравнение . Это квадратное уравнение, значит, условие единственности общей точки достигается в случае, когда дискриминант равен нулю.

Так как то

Значит, прямые задаются формулами и .

- квадратичная функция, графиком является парабола, с вершиной в точке , ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на 4 ед. отрезка вверх.

– прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через точки .

– прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через точки .

Ответ: .

1. (127, 314793) При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

Решение.

Для того, чтобы найти общую точку графиков двух функций, нужно решить уравнение . Это квадратное уравнение, значит, условие единственности общей точки достигается в случае, когда дискриминант равен нулю.

Так как то . Тогда

Значит, прямая имеет с параболой одну общую точку при .

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке где

т.е. в точке , ветви параболы направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на 1 ед. отрезок влево, и вдоль оси Оу на 1 ед. отрезок вниз.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки .

Ответ:

1. (179, 314798) При каких отрицательных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

Решение.

Для того, чтобы найти общую точку графиков двух функций, нужно решить уравнение . Это квадратное уравнение, значит, условие единственности общей точки достигается в случае, когда дискриминант равен нулю.

Так как , то

По условию должно принимать отрицательные значения, значит, – посторонний корень.

Тогда квадратное уравнение принимает вид: . Найдём ординату точки пересечения: . Графики имеют общую точку .

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке где

т.е. в точке , ветви параболы направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Ох на 1 ед. отрезок влево, и вдоль оси Оу на 1 ед. отрезок вниз.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки .

Ответ: .

1. (311576) Известно, что парабола проходит через точку и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую .

Решение.

По условию известно, что вершина параболы находится в начале координат, значит, квадратичная функция задана формулой . Т.к. эта парабола проходит через точку , то . Формула принимает вид: .

Поскольку прямая и парабола пересекаются, то:

. Значит, графики данных функций пересекаются в точках .

Ответ: .

1. (314398) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

Решение.

Так как парабола проходит через точки , то координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы . Значит,

Тогда квадратичная функция задана уравнением: . Найдём координаты вершины этой параболы.

– вершина параболы.

Ответ:

1. (314407) При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

Решение.

Вершины двух парабол расположены по разные стороны от оси Ох, если их ординаты имеют разные знаки. Найдём эти ординаты по формуле .

Т.к. и должны иметь разные знаки, то их произведение должно быть отрицательным.

Ответ:

1. (314458) При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

Решение.

Вершины двух парабол расположены по одну сторону от оси Ох, если их ординаты имеют одинаковые знаки. Найдём эти ординаты по формуле .

Т.к. и должны иметь одинаковые знаки, то их произведение должно быть положительным.

Так как при любом значении , то разделив обе части неравенства на этот множитель, получим:

Ответ:.

1. (314685) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

Решение.

Для того, чтобы найти общую точку графиков двух функций, нужно решить уравнение . Это квадратное уравнение, значит, условие единственности общей точки достигается в случае, когда дискриминант равен нулю.

Так как , то и квадратное уравнение принимает вид:

Найдём ординату точки пересечения.

Итак, графики имеют одну общую точку при .

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на 1 ед. отрезок вниз.

– линейная функция, графиком является прямая, проходящая через точки .

Ответ: .

1. (339055) Найдите и постройте в одной системе координат прямую и график функции , если известно, что этот график имеет с прямой ровно одну общую точку.

Решение.

Для того, чтобы найти общую точку графиков двух функций, нужно решить уравнение . Это квадратное уравнение, значит, условие единственности общей точки достигается в случае, когда дискриминант равен нулю.

Так как , то и квадратное уравнение принимает вид:

Найдём ординату точки пересечения.

Итак, графики имеют одну общую точку при .

– квадратичная функция, графиком является парабола с вершиной в точке , ветви направлены вверх, т.к. . График этой функции получается из графика функции смещением вдоль оси Оу на 1 ед. отрезок вверх.

– прямая пропорциональность, графиком является прямая, проходящая через точки

Ответ:

ЗАДАЧИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. (388288) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

2. (341129) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

3. (341159) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

4. (338295) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

5. (353520) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

6. (341535) Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра прямая имеет с графиком ровно две общие точки.

7. (341686, 350611) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

8. (348483) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

9. (348845) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

10. (353416) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.

11. (341368) Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком три общие точки.

12. (338909) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

13. (348835) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

14. (348859) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

15. (349123) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

16. (349838) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

17. (350560) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

18. (351246) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

19. (352224) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

20. (352325) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

21. (353304) Найдите все значения , при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

22. (314791) При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

23. (314792) При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

24. (314794) При каком значении прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении .

25. (314790) При каких отрицательных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

26. (314801) При каких положительных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

27. (314797) При каких положительных значениях прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.

28. (314409) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

29. (314412) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

30. (314429) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

31. (314437) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

32. (314460) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

33. (314461) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

34. (314466) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

35. (314477) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

36. (314482) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

37. (314483) Парабола проходит через точки . Найдите координаты её вершины.

38. (314411) При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

39. (314424) При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

40. (314428) При каких значениях вершины парабол и расположены по разные стороны от оси ?

41. (314459) При каких значениях вершины парабол и расположены по одну сторону от оси ?

42. (314727) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

43. (314728) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

44. (314729) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

45. (314730) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

46. (314731) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

47. (314732) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

48. (314734) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

49. (314736) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

50. (314737) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

51. (314738) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

52. (314752) Известно, что графики функций и имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

ОТВЕТЫ

7