Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике (8 класс)

Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 8 класс. 2017-2018 учебный год

1.Докажите, что 13+13²+13³+13⁴+…+13²⁰⁰¹+13²⁰⁰² делится нацело на 7.

2. . Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день, на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым, ни последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?

3. В окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что ﮮАОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину ﮮАDО.

4

5. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Предполагается, что коровы поедают траву равномерно)

Рекомендуемое время проведения олимпиады - 3 урока

Ответы и указания к решениям

8.1 13+13²+13³+13⁴+…+13²⁰⁰¹+13²⁰⁰²= 13(1+13)+13³(1+13)+…+13²⁰⁰¹(1+13)=14(13+13³+…+13²⁰⁰¹)

Так как 14 делится на 7, то и само число нацело делится на 7.

8.2. Предположим, что солгал Алексей. Тогда получается, что он был первым или последним. Значит, солгали еще Владимир или Григорий. А это противоречит тому, что солгал всего один из ребят.

Пусть солгал Борис. Тогда он был последним. Но Григорий также утверждал, что он был последним. Значит, данного случая также быть не может.

Пусть солгал Владимир. Тогда он был не первым. В этом случае все получается и первым тогда будет Борис.

Последний случай, когда солгал Григорий, быть не может, так как тогда последним никто из ребят не был.

Вывод: правду сказали Алексей, Борис, Григорий. Первым был Борис.

8.3. Проведем СО, притом CO=DC=OA. Тогда треугольники ODC, AOC– равнобедренные. Если ﮮАDО=x, то ﮮАCО= ﮮCАО= 2x . Зная, что ﮮАОВ=60°является внешним углом для треугольника АDО составим уравнение x+2x=60°. ﮮCDO = 20°.

Ответ:  ﮮАDO = 20°.

8.4.

8.5 1 способ Обозначим всю траву на лугу за 1, прирост травы за один день через а. Тогда за 24 дня травы на лугу будет 1+24а, через 60 дней – (1+60а), через 96 дней – (1+96а). Так как 70 коров съели всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней, то количество съеденной травы 1 коровой за один день будет находиться как

Из уравнения найдем а = , тогда через 96 дней на лугу будет травы

1+96а=1,2. За один день корова съедает , а за 96 дней – 0,06. Тогда 1,2 съедят

2 способ. Обозначим прирост травы в день за х, количество съедаемой травы 1 коровой за один день за у, а за z – число коров, которые съедают траву за 96 дней. Получим систему уравнений:

70·у·24=1+24х

30

z . Решением системы будет тройка чисел, причем z=20.