Учебное пособие "Функции и их свойства"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 30»

Учебное пособие

для учеников 9 класса

по подготовке к №22 ОГЭ по математике

«ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА»

Конышева София Александровна

Вологда

2024

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………..	3
Глава 1. Кусочные функции ………………………………….......	4
Раздел 1. Свойства кусочных функций …………………………………...	4
Подраздел 1. Линейная функция …………………………………………..	4
Пример 1. Построение линейной функции ……………………………….	5
Подраздел 2. Квадратичная функция ……………………………………...	6
Пример 2. Построение квадратичной функции …………………………...	9
Подраздел 3. Функция обратной пропорциональности …………………..	10
Пример 3. Построение функции обратной пропорциональности ……….	11
Раздел 2. Образцы решения заданий №22 с кусочными функциями …...	12
Раздел 3. Задания для самостоятельного решения ………………..……...	16
Глава 2. Дробно-рациональные функции ……………………….	17
Раздел 4. Свойства дробно-рациональных функций ……………..………	17
Раздел 5. Образцы решения заданий №22 с дробно-рациональными функциями …………………………………………………………………..	17
Раздел 6. Задания для самостоятельного решения ……………………...	20
Глава 3. Функции, содержащие модули …………………………	20
Раздел 7. Свойства функций, содержащих модули ……………………….	20
Раздел 8. Образцы решения заданий №22 с функциями, содержащими модули ……………………………………………………………………….	21
Подраздел 4. Функции, содержащие модули, сводящиеся к квадратичным функциям …………………………………………………..	21
Подраздел 5. Функции вида y = |f(x)| ……………………………………...	24
Подраздел 6. Дробно-рациональные функции, содержащие модули …...	26
Раздел 9. Задания для самостоятельного решения …………...…………...	30
Частые ошибки при оформлении № 22……….…………………….	31
Ответы для самоконтроля …..………………………………………….	32

Введение

Дорогие девятиклассники!

Вы смотрите учебное пособие "Функции и их свойства", которое поможет Вам успешно подготовиться к ОГЭ по математике. Функции – это важная тема, которую нужно хорошо знать, чтобы справиться с 22 номером ОГЭ. В этом пособии Вы узнаете, что такое функции, какие они бывают, какими свойствами обладают, и как выглядят их графики. Вы увидите образцы решения 22-ого задания, его типы.

Чтобы закрепить полученные знания, к каждой теме есть примеры для самостоятельного решения с ответами для самоконтроля.

Мы надеемся, что это пособие позволит Вам легко овладеть новыми умениями, а также успешно подготовиться к экзамену.

Желаем Вам интересного изучения математики и в дальнейшем удачной сдачи экзамена!

Глава 1. Кусочные функции Раздел 1. Свойства кусочной функции

Кусочная функция - это функция, части которой заданы на разных промежутках разными функциями. Другими словами, кусочная функция состоит из нескольких других функций, следовательно, ведёт себя по-разному, в зависимости от промежутка.

На ОГЭ в №22 встречаются кусочные функции, включающие в себя линейные, квадратичные и функции обратной пропорциональности. На экзамене может попасться кусочная функция из двух или трёх функций. Поэтому стоит изучить все вышеперечисленные функции.

Подраздел 1. Линейная функция

Линейная функция – функция вида y=kx+b, где k и b – некоторые числа, x – независимая переменная (аргумент функции), у – зависимая переменная.

Область определения, то есть все значения, которые может принимать икс, - все действительные числа ℝ. Область значений, то есть значения, которые может принять игрек – при k ≠ 0 – все действительные числа ℝ, при k=0 – значение числа b. Функция непрерывна, её график выглядит как одна прямая линия. В таблице 1 показано, как может выглядеть функция в зависимости от значений k и b. Коэффициент k отвечает за наклон функции: если k – отрицательное число, то функция убывающая, если k – положительное, то функция возрастающая, если k=0, то функция – горизонтальная прямая. Чем k больше по модулю, тем круче наклонена функция, то есть при k=0,5 функция наклонена не так сильно, как при k=3. Коэффициент b отвечает за «подъём» функции. Если b – положительное, то функция «поднимется» на b единиц вверх и пересечёт ось OY в точке с координатой b по игреку. Если b – отрицательное, то функция «опустится» на b единиц вниз и пересечёт ось OY в точке с координатой b по игреку. Если b=0, то прямая пройдёт ровно через начало координат, через точку (0;0).

Таблица 1

Пример 1. Построение линейной функции

Построим функцию y = 4x-5. Коэффициент k = 4, так как он положительный, то функция возрастающая. Коэффициент b = -5, так как он отрицательный, функцию «опустили» вниз на 5 единиц. Чтобы построить линейную функцию, нужны координаты лишь двух точек, потому что прямая проходит именно через две любые точки. Пусть одной точкой будет нуль функции. Найдём нуль функции, то есть значение икса, при котором y = 0. Чтобы его найти, нужно решить линейное уравнение 4x-5 = 0. Получим, что x=1,25. Вторую точку возьмем, например, при x = 0, получим, что y = -5.

x	1,25	0
y	0	-5

Теперь через две точки проведём прямую. Подпишем эти точки на рисунке. И последним шагом, подпишем сам график y = 4x-5 (См. рис. 1)

Рисунок 1.

Подраздел 2. Квадратичная функция

Квадратичная функция – функция вида y = ax²+bx+c, где a, b, c – некоторые числа, при чём a ≠ 0 (в ином случае получим линейную функцию). Её график – парабола. Парабола имеет свою ось симметрии, которая параллельна оси OY и проходит через вершину параболы. Вершина параболы – это либо минимальное значение функции, либо максимальное; это точка, где сменяется возрастание функции на убывание, либо наоборот. Формула вершины параболы, которая будет у Вас в справочных материалах на ОГЭ, x₀= . С помощью этой формулы мы сможем получить абсциссу (координату по иксу) вершины параболы. Чтобы узнать вторую координату (по игреку), нужно подставить найденное x₀ в уравнение квадратичной функции, которое дано в задании. Область определения функции – все числа. Область значения – тот промежуток, где расположена парабола (в зависимости от коэффициентов он разный). Большинство других свойств зависят от коэффициентов a, b, c.

Рассмотрим частную квадратичную функцию, с коэффициентами b, c, равными нулю, и a, равным единице. Это функция y = x². По точкам построим её график (См. Рис. 2):

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

Рис. 2

Ось симметрии этой параболы – прямая x = 0. Вершина параболы – точка с координатами (0; 0), это можно вывести через вышеупомянутую формулу. При чём вершина одновременно является еще и нулём функции, так как в ней значение функции (значение по игреку) равно нулю. Другими словами, у уравнения x² = 0 лишь один корень, и это x = 0. То, что корень один, можно было бы доказать алгебраически, через дискриминант.

Коэффициент a отвечает за направление ветвей параболы, сжатие или растяжение. При a = 1, как, например, в примере выше, ветви параболы направлены вверх. Если же a = -1, то ветви параболы будут направлены вниз, тогда вершина параболы будет не минимумом, а максимумом функции. Если коэффициент a 1, или a OY. Поэтому иногда можно слышать, что такой коэффициент называют коэффициентом «сжатия». Если -1 a a b, c отвечают за перемещение параболы по координатной плоскости.

То есть, при определенных коэффициентах парабола может «опуститься», «подняться», сместиться влево или вправо, что повлияет на количество нулей функции (точек пересечения параболы и оси OX). Это связано с тем, что при разных коэффициентах квадратичного уравнения дискриминант будет разным, следовательно, будет разное количество корней: 0, 1 или 2. На рисунке 3 показана эта связь.

Рис. 3

Пример 2. Построение квадратичной функции

Попробуем построить квадратичную функцию y = –x² + 8x – 17. По формуле x₀ = найдем абсциссу вершины параболы: x_{0 =} = 4. Подставим x₀ в данную функцию. Получим y = -16+32-17 = -1. Вершина параболы имеет координату (4; -1). Ось симметрии этой параболы – прямая x = 4. Найдем координаты еще нескольких точек, построим график, и подпишем на нем функцию (См. рис. 4):

x	4	3	2	5	6	0
y	-1	-2	-5	-2	-5	-17

Рис. 4

У данной функции нет нулей функции, что можно проверить через дискриминант (он отрицательный), коэффициент a = -1, ветви направлены вниз. Следовательно, вся функция находится под осью OX (область значения – [-1; -∞)).

Подраздел 3. Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности имеет вид y = , где k – любое число, не равное нулю, и x ≠ 0 (так как икс в знаменателе). Её график – гипербола, состоящая из двух частей, которые в зависимости от коэффициента k расположены в разных четвертях координатной плоскости. При k 0 в первой и третьей, при k

Таблица 2

	При k 0	При k
Пример	y =	y =
График

Функция обратной пропорциональности нечётная, то есть симметрична относительно начала координат, точки (0; 0). Область определения – все числа, кроме нуля. На графике это показано тем, что гипербола никогда не пересечёт ось OY, но будет всё ближе и ближе к ней. Область значения – тоже все числа, кроме нуля. Гипербола никогда не пересечёт и ось OX, но будет приближаться к ней. Это означает ещё то, что нулей функции не существует. Эта функция, в отличии от линейной и квадратичной, не непрерывна, так как при x = 0 терпит разрыв.

Следует отметить, что в задании ОГЭ может понадобиться построить функцию обратной пропорциональности, к которой прибавили константу, т.е. какое-либо число. Например, это может быть функция . Так же, как и в других функциях, свободный коэффициент отвечает за «подъём» или «спуск» функции. В нашем случае, коэффициент +3 означает, что всю функцию , всю гиперболу стоит «поднять» вверх на 3 клетки. Тогда сместится на 3 клетки вверх и асимптота, которая раньше совпадала с осью OX, и к которой стремилась гипербола.

Пример 3. Построение функции обратной пропорциональности

Построим график функции y = по точкам, подпишем на графике функцию (См. рис. 5):

x	1	2	4	8	-1	-2	-4	-8
y	4	2	1	0,5	-4	2	-1	-0,5

Рис. 5

Раздел 2. Образцы решения заданий №22 с кусочными функциями

Теперь, когда мы разобрали все типы функций, которые могут попасться на ОГЭ в кусочной функции, разберёмся, как решать задания с ними.

Пример задания:

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Сначала дадим характеристику обеим функциям.

1) y = -x² -4x +1 – Квадратичная функция. График – парабола с ветвями вниз, т.к. a x₀= = = -2; y₀= -(-2)² -4(-2) +1 = -4 +8 +1 =5. Вершина имеет координаты (-2; 5). Найдём точки для построения графика:

x	-2	-3	-1	0	1
y	5	4	4	1	-4

2) y = -x -2 – линейная убывающая функция. График – прямая. Найдём точки для построения графика:

x	-3	-4
y	1	2

Теперь можем построить кусочную функцию (См. рис. 6). Проведём асимптоту x = -3 (линию, которая разделяет две части данной кусочной функции). Её обычно рисуют пунктирной линией. Нужно отметить, к какой части графика принадлежит точка с координатой по иксу -3. В задании нестрогий знак стоит у первой функции, квадратичной, то есть точка с абсциссой -3 принадлежит параболе. Закрасим точку у параболы, чтобы показать, что она относится к ней. А у y=-x-2 точку «выколем» (не закрасим), так как она не принадлежит этой прямой. И обязательно подпишем вершину параболы и функции рядом с их частями графика.

Рис. 6

За правильное описание функций, их построения и верный график получим 1 балл из 2 возможных за это задание.

Во второй части этого задания нужно найти параметр, при котором будет выполняться данное условие. В нашем случае, найти «при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки».

Чтобы это определить, можно вести, например, ручку, расположенную горизонтально, снизу верх или наоборот, и смотреть, в скольких точках ручка пересекает график.

При m = -4 прямая y = m имеет с графиком лишь одну общую точку, что видно на графике. «Ведём» ручку выше – При m = 1 прямая y = m имеет с графиком тоже только одну общую точку, так как точка (-3; 1) выколотая. А вот дальше будет две общих точки до того момента, как дойдём до m = 4. При m = 4 прямая y = m будет пересекать график 3 раза, т.к. точка закрашена. 3 Общих точки будет до m = 5, в таком случае, график будет пересечён прямой 2 раза (в вершине параболы и в точке прямой y = -x -2) (См. Рис. 7).

Рис. 7

В ответ запишем «При m = 5 и m ∈ (1; 4)». За правильное этой части задания получаем второй балл.

В задании с кусочной функции может попасться также функция обратной пропорциональности, могут попасться 3 функции, а не 2, тогда будет 3 части графика. Может быть такое, что у функции не будет разрыва, как в рассмотренном примере. Вторая часть с параметром тоже бывает разной. В большинстве случаев как в этом примере: «При каких m прямая y = m имеет с графиком … общих точек?». Но может встретиться «При каком значении k прямая y=kx имеет с графиком … общих точек?». Ещё реже встречается вопрос «Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?».

Алгоритм решения этого типа задания (с кусочной функцией) мог бы выглядеть так: 1) Дать характеристику каждой функции. Найти её точки для графика; 2) Провести асимптоту, построить кусочную функцию. Подписать функции рядом с их частями графика. Выколоть или закрасить, если нужно, точку (точки); 3) Найти значения параметра; 4) Записать ответ.

Решим с помощью этого алгоритма ещё один пример:

Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

1) y = x²+6x+9 – квадратичная функция вида. График – парабола с ветвями вверх, т.к. a0. Найдём координату вершины параболы: x₀= = = = =-3; y₀ = (-3)² +6(-3) + 9 = 9 -18 + 9 = 0. Вершина параболы имеет координату (-3; 0). Найдём точки параболы:

x	-3	-5	-4	2	4	0
y	0	4	1	1	4	9

2) y = – функция обратной пропорциональности вида . График – гипербола, расположенная во II и IV четвертях, т.к. k

x	-5	-10	-20	5	10	20
y	4	2	1	-4	-2	-1

3) Построим кусочную функцию (См. рис. 8).

4) На графике видно, что:

при m ∈ (-∞; 0) прямая y = m не имеет общих точек с графиком;

при m = 0 прямая y = m имеет 1 общую точку;

при m ∈ (0; 4) прямая y = m имеет 3 общих точки;

при m = 4 прямая y = m имеет 2 общих точки;

при m ∈ (4; +∞) прямая y = m имеет 1 общую точку.

5) Ответ: При m = 0, m = 4 и m ∈ (4; +∞).

Рис. 8

Раздел 3. Задания для самостоятельного решения

№1) Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

№2) Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

№3) Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

№4) Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

№5) Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Глава 2. Дробно-рациональные функции Раздел 4. Свойства дробно-рациональных функций

Дробно-рациональные функции – это функции вида , где P(x) и Q(x) – некоторые функции с переменной икс. На ОГЭ такие функции часто могут содержать модули, их мы рассмотрим в следующей главе. Свойства и графики этих функций всегда разные, в зависимости от того, чем являются P(x) и Q(x). Но всегда в решении стоит прописывать ОДЗ, учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю. Это отразится на графике в виде выколотой точки.

Раздел 5. Образцы решения заданий №22 с дробно-рациональными функциями

Алгоритм решения данного типа задания: 1) Прописать в ОДЗ все ограничения из знаменателя; 2) Преобразовать(упростить) данную функцию; Написать, к чему свёлся график функции; 3) Построить график функции, учитывая ОДЗ; 4) Решить задание с параметром; 5) Записать ответ.

Рассмотрим пример решения такого задания:

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1) В знаменателе вынесем x за скобку как общий множитель, получим:

. Пропишем в ОДЗ: = .

2) Теперь можем сократить числитель и знаменатель на 4x-5, получим y = . График свёлся к графику гиперболы, расположенной в I и III четвертях, с выколотой точкой при x=1,25. Координата по игреку выколотой точки равна = 0,8. Выколотая точка имеет координату (1,25; 0,8)

3) Построим график функции (См. рис. 9)

x	1	0,5	2	-0,5	-2
y	1	2	0,5	-2	-0,5

Рис. 9

4) Ранее мы рассматривали только задания с прямой y = m, где m – параметр. Функция y = kx – линейная (ещё её иногда называют функцией прямой пропорциональности), проходящая через начало координат, т.е. точку (0; 0), так как нет коэффициента b. Изменяя параметр k, наклон прямой y=kx будет меняться. При k = 0, прямая «сольётся» с осью OX и не будет иметь общих точек с гиперболой. Увеличивая k, прямая пересечёт график в двух точках (в 1 и 3 четверти). Но если она пройдёт через выколотую точку, не принадлежащую графику, то пересечёт гиперболу лишь 1 раз, в третьей четвери. При отрицательных значениях k прямая не будет иметь общих точек с графиком, так как пройдёт как бы между двух частей гиперболы. На рисунке 10 синими линиями показаны некоторые из тех, которые пересекают гиперболу в двух точках (они также отмечены на пересечении с графиком), красными линиями – некоторые из тех, которые не пересекают гиперболу вообще. И только одна прямая, зелёная, проходящая через выколотую точку, по условию нам п

Рис. 10

Важно помнить, что коэффициент k у прямой y = kx равен тангенсу угла, под которым прямая пересекает ось OX. Тангенс – это отношение противолежащего катета, к прилежащему. Поэтому мысленно достроим треугольник (См. рис. 11). Противолежащий катет начинается на оси OX, а заканчивается в выколотой точке. Т.е. можно сказать, что его длина – это координата по игреку у этой точки. Поэтому противолежащий катет равен 0,8. Прилежащий катет лежит на оси OX и «достаёт» до 1,25. Поэтому длина прилежащего катета равна 1,25. Теперь можем найти тангенс, поделив 0,8 на 1,25. Получим 0,64. Это и есть коэффициент k, при котором зелёная прямая пройдёт через выколотую точку. Больше таких значений k нет.

5) Поэтому в ответ следует написать «При k = 0,64».

Рис. 11

Раздел 6. Задания для самостоятельного решения

№6) Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

№7) Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

№8) Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

№9) Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

№10) Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком общих точек.

Глава 3. Функции, содержащие модули Раздел 7. Свойства функций, содержащих модули

В №22 ОГЭ функции, содержащие модули достаточно разнообразные. Их можно разделить на 3 группы:

1 – функции, которые при раскрытии модуля сведутся к квадратичным;

2 – функции вида y = |f(x)|;

3 – дробно-рациональные функции с модулями (их существует 2 вида).

Свойства всех этих функций разные, одни функции легче построить, другие сложнее. В следующих трёх подразделах мы разберём, как решать задания с каждой возможной функцией.

Раздел 8. Образцы решения заданий №22 с функциями, содержащими модули Подраздел 4. Функции, содержащие модули, сводящиеся к квадратичным функциям

Для примера рассмотрим пример задания с такой функцией:

Постройте график функции

y=|x|⋅(x+2) −3x

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

По определению модуль – расстояние на координатной прямой от нуля до определенной точки. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль всегда положительный. Расстояние от 0 до, например, 5 равно 5, но и расстояние от 0 до -5 тоже равно 5. То есть |5| = 5 и |-5| = 5. Из чего можем сделать вывод, что если внутри модуля число положительное (или равное нулю), то модуль раскроется без изменения знака. В нашем примере, как было 5, так 5 и осталось. Но если внутри модуля число отрицательное, то модуль раскроется со знаком минус. В нашем примере, чтобы из -5 получить 5, нужно -5 умножить на -1, получая -(-5) = 5.

Но в этом задании внутри модуля переменная, которая может быть как отрицательной, так и положительной. Поэтому рассмотрим 2 случая: когда икс больше или равен 0 и когда икс отрицательный. В первом случае, модуль раскроется без изменения знака, а во втором случае с умножением на минус. Получаем кусочную функцию: . А кусочные функции мы уже научились строить.

Раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые: .

y = x² -x – квадратичная функция, график – парабола с ветвями вверх, т.к. a0. Найдём координаты вершины параболы: x₀= = = 0,5.

y₀ = (0,5)²-0,5 = -0,25. Вершина параболы имеет координаты (0,5; -0,25). Найдём точки параболы:

x	0,5	0	1	2	3
y	-0,25	0	0	2	6

y = -x² -5x – квадратичная функция, график – парабола с ветвями вниз, т.к. ax₀= = = -2,5.

y₀= -(-2,5)² -5(-2,5) = -6,25 + 12,5 = 6,25. Вершина параболы имеет координаты (-2,5; 6,25). Найдём точки параболы:

x	-2,5	0	-1	-4	-5
y	6,25	0	4	4	0

По точкам построим график (См. рис. 12)

Рис. 12

Во второй части задания нужно найти такие m, чтобы прямая y = m пересеклась с графиком только в 2 точках.

Из рисунка видно:

при m

при m = 0,25 – 2 точки пересечения,

при m ∈ (0,25; 6;25) – 3 точки пересечения,

при m = 6,25 – 2 точки пересечения,

при m6,25 – 1 точка пересечения.

Следовательно, 2 точки пересечения только в случаях, когда одна из точек – вершина параболы.

Ответ: при m = 0,25 и m = 6,25.

Такие задания с модулями не самые сложные, алгоритм решения подобных заданий может выглядеть следующим образом:

1) Раскрыть модуль, сведя функцию к кусочной; (Если модуль не |x|, то решить неравенство, получаемое при раскрытии модуля) 2) Дать характеристику каждой функции в кусочной функции; 3) Построить график, подписать важные точки, функцию; 4) Решить задание с параметром. 5) Записать ответ.

Решим ещё одно подобное задание:

Постройте график функции

y = 5|x−2| −x²  +5x −6

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Разница, по сути, лишь в том, что под модулем не |x|, что скажется при раскрытии модуля.

1) Раскроем модуль: . Здесь в условии всё зависит от значения x-2, а не просто x, т.к. внутри модуля находилось именно x-2. В функциях раскроем скобки, приведём подобные, а в условии решим неравенство, «перенеся» -2 в правую сторону со сменой знака на +2, получим:

y .

2) y = -x² +10x -16 – квадратичная функция, график – парабола с ветвями вниз, т.к. ax₀ = = = 5;

y₀ = -(5)²+50-16 = 9. Вершина параболы имеет координату (5; 9). Найдём точки параболы:

x	5	4	6	7	3	2	8
y	9	8	8	5	5	0	0

y = -x²+4 – квадратичная функция, график – парабола с ветвями вниз, т.к. ax₀ = = = 0 (Помним, что +4 – это коэффициент c, а не b); y₀ = -(0)²+4 = 4. Вершина параболы имеет координату (0; 4). Найдём точки параболы:

x	0	1	-1	-2	2
y	4	3	3	0	0

3) Построим график (См. рис. 13)

4) По графику видно:

при my = m имеет с графиком 2 общие точки;

при m = 0 прямая y = m имеет с графиком 3 общие точки;

при m ∈ (0; 4) прямая y = m имеет с графиком 4 общие точки;

при m = 4 прямая y = m имеет с графиком 3 общие точки;

при m ∈ (4; 9) прямая y = m имеет с графиком 2 общие точки;

при m = 9 прямая y = m имеет с графиком 1 общую точку;

при m9 прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Ответ: при m = 0 и m = 4.

Рис. 13

Подраздел 5. Функции вида y = |f(x)|

У такого вида функций есть весьма интересное свойство, которое мы не затрагивали ранее. Иногда можно услышать, что функция f(x) как бы «отзеркаливается» от оси OX. Это напрямую связано с тем, что модуль – всегда положительное число. Поэтому все отрицательные значения функции f(x) он «перекинет» за ось OX. В таблице показано, как это работает:

y = x	y = x2 -4x +3
y = |x|	y = | x2 -4x +3|

В примере с f(x) = x, под осью OX находится часть прямой, левее оси OY. Модуль «отзеркалил» эту часть симметрично наверх. В примере с

f(x) = x² -4x +3 под осью OX находится только часть параболы. Модуль «развернул» её наверх.

Поэтому в таком случае, когда внутри модуля – вся функция полностью, можно не сводить её к кусочной, а написать в решении, например, так: «Оставим без изменения части графика, лежащие на оси OX или выше, а части графика, лежащие ниже оси OX, отразим относительно нее».

Решим пример с такой функцией:

Постройте график функции

y=∣x² +2x−3∣

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции

с прямой, параллельной оси абсцисс?

y = x²+2x-3 – квадратичная функция, график – парабола с ветвями вверх, т.к. a0. Найдём координаты вершины параболы: x₀ = = = -1;

y₀ = (-1)²+2(-1)-3 = -4. Вершина параболы имеет координаты (-1; -4). Найдём точки параболы:

x	-1	0	-2	1	3	2	-4
y	-4	-3	-3	0	0	5	5

Оставим без изменения части графика, лежащие на оси OX или выше, а части графика, лежащие ниже оси OX, отразим относительно нее. Получим точки графика функции y=∣x² +2x−3∣:

x	-1	0	-2	1	3	2	-4
y	4	3	3	0	0	5	5

Построим по точкам график:

Во второй части здесь встретилась изменённый вариант задания с параметром m и прямой y = m. Эта прямая и есть прямая, параллельная оси абсцисс (т.е. оси OX).

По рисунку видно, что больше 4 общих точек с графиком прямая иметь не может. Например, прямая y = 2 имеет 4 общие точки с графиком.

Ответ: 4 точки.

Подраздел 6. Дробно-рациональные функции, содержащие модули

В этом подразделе разберём, как решать 2 типа функций:

1) Подобные ;

2) Подобные y = (∣ − ∣ + + ).

Первые, хоть и содержат два модуля, строить легче, так как вторые содержат достаточно трудно раскрываемый модуль. Скорее всего, будет получаться неравенство, которое придётся решать методом интервалов.

В современном варианте ОГЭ, на момент 2025 года, нет заданий, где были бы разные функции внутри нескольких модулей. Если есть 2 модуля с разными функциями внутри него, то нужно рассматривать не 2 случая, как мы делали ранее, а 4, что усложняет задачу. Сейчас можно встретить задания только с одинаковыми модулями, которые можно решить, рассматривая только 2 случая.

Стоит также отметить, что в заданиях, подобных первому типу функций, может быть 1 модуль. Такие задания решаются, в целом, аналогично.

I) Рассмотрим задание с первой функцией:

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения таких заданий:

1) Раскрыть модуль, сведя функцию к кусочной; 2) Упростить функции. Если нужно – решить неравенство в условии; 3) Дать характеристику каждой функции; 4) Построить график. Отметить важные точки, подписать функцию; 5) Решить задание с параметром; 6) Записать ответ.

1) Раскроем модуль:

2) Упростим функции, но рядом в ОДЗ пропишем все ограничения из знаменателя:

ОДЗ: =

3) y = - – функция обратной пропорциональности, график – гипербола, расположенная во II и IV четвертях, т.к. k

x	1	0,5	2	-1	-0,5	-2
y	-1	-2	-0,5	1	2	0,5	-3,5

y = – функция обратной пропорциональности, график – гипербола, расположенная во I и III четвертях, т.к. k0.

x	1	0,5	2	-1	-0,5	-2	-3,5
y	1	2	0,5	-1	-2	-0,5

4) Построим по точкам график, с учетом ОДЗ выколем точки с координатами

( ; -3,5) и (-3,5; - ):

5) По заданию нужно найти такие k, чтобы прямая y=kx не пересекала гиперболу. Т.е. прямая должна пройти через выколотую точку или должна совпасть с осью OX. Во втором случае получаем прямую y = 0, т.е. k=0. В первом случае находим k как угловой коэффициент прямой через тангенс (см. стр. 19). Прямая, проходящая через выколотую точку ( ; -3,5) – y =-12,25x (коэффициент k нашли через отношение координаты по игреку к координате по иксу, получив = -12,25). Прямая, проходящая через точку (-3,5; - ) –

y = . Таким образом, в ответ запишем 3 числа.

6) Ответ: при k=0, при k =-12,25, и при k= .

II) Рассмотрим задание со второй функцией:

Постройте график функции

y = (∣ − ∣ + + )

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Этот тип заданий разбираем в самую последнюю очередь, так как для него нужно обладать пониманием, как решать примеры попроще, хорошо строить кусочные функции, уметь решать неравенства.

Решим по тому же алгоритму:

ОДЗ: x ≠ 0

1) Рядом пропишем в ОДЗ, что x ≠ 0, (так как он в знаменателе) чтобы не забыть выколоть точку на графике. Внутри модуля разность двух дробей, в неравенство (условие) пишем полностью обе две дроби:

2) Можем упростить сами функции, приведя подобные и раскрыв скобки. Чуть сложнее будет решить неравенства в условиях. Решим первое методом интервалов:

Дроби с разными знаменателями, приведём их к общему, умножив первую дробь на x, а вторую на 1,5. Получим:

Числитель по формуле «разность квадратов» разложим на 2 скобки:

Теперь нужно найти нули левой части и из числителя, и из знаменателя. Получаем -1,5; 0; 1,5. Далее выносим полученные нули на координатную прямую. Но икс в знаменателе, он нулю не может быть равен, поэтому точка будет выколота. Получили 4 интервала (обозначены дугами на рис. 14), нужно определить знаки на каждом. В нашем случае нет какой-либо скобки в чётной степени, поэтому знаки чередуются. Даже если Вы забудете это на экзамене, всегда можно подставлять в неравенство различные числа с интервала и смотреть на получившийся знак. Подставив очень большое число вместо икса (т.е. с самого правого промежутка), например, несколько сотен тысяч, получим везде положительные числа. Значит, знак +. И так на каждом промежутке. В рассматриваемом неравенстве нужно найти те интервалы, значения на которых больше либо равны 0. Это интервалы [-1,5; 0) и [1,5; +∞). Соответственно, для второго условия (неравенства), где нужно найти значения строго меньше нуля – интервалы (-∞; -1,5) и (0; 1,5).

Рис. 14

Упростив функции и решив оба неравенства в условиях, получим:

3) y = – линейная функция, прямой пропорциональности, график – восходящая прямая, т.к. k0, проходящая через начало координат, т.к. b=0. Найдём точки прямой:

x	0	3
y	0	2

y = – функция обратной пропорциональности, график – гипербола, расположенная в I и III четвертях, т.к. k0. Найдём точки гиперболы:

x	1,5	-1,5	1	-1	3	-3	0,5	-0,5
y	1	-1	1,5	-1,5	0,5	-0,5	3	-3

4) Теперь нужно построить график, разбитый на 4 части (см. рис. 14), не забыв про x ≠ 0 в ОДЗ.

5) По графику (см. рис. 15) видно:

при m 1 прямая y = m имеет 2 точки пересечения с графиком;

при m = 1 прямая y = m имеет 1 точку пересечения с графиком;

при m ∈ [0; 1) прямая y = m не имеет общих точек с графиком;

при m ∈ (-1; 0) прямая y = m имеет 2 точки пересечения с графиком;

при m = -1 прямая y = m имеет 1 точку пересечения с графиком;

при my = m не имеет точек пересечения с графиком.

6) Ответ: при m = -1 и m = 1.

Рис. 15

Раздел 9. Задания для самостоятельного решения

№11) Постройте график функции

y = |x|⋅(x−1) -5x

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

№12) Постройте график функции

y = x² +14x -3|x+8| +48

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

№13) Постройте график функции

y=∣x² +5x+6∣

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции

с прямой, параллельной оси абсцисс?

№14) Постройте график функции

y=∣x² +5x+4∣

Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции

с прямой, параллельной оси абсцисс?

№15) Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

№16) Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

№17) Постройте график функции

y = (∣ − ∣ + + )

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

№18)

Постройте график функции

y = (∣ − ∣ + + )

Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Частые ошибки при оформлении №22

• При построении параболы или гиперболы недостаточно указать две точки в таблице. Две точки можно указать у линейной функции (и функции прямой пропорциональности). Для иных функций нужно хотя бы 3 точки, а лучше 4-7.

• Если график не ограничен слева или справа, то он не должен заканчиваться на какой-то точке. «Оборвав» его в точке, Вы показываете, будто дальше графика нет. Поэтому рисуйте график в таких случаях как простую линию, на конце которой нет какой-либо точки.

• Функция вида y = с графиком гиперболы (без коэффициента b) не должна пересекать оси OX или OY. Она должна к ним приближаться, но не пересекать.

• Не забывайте про ОДЗ и выколотые точки. От них сильно зависит решение, построение графика и нахождение параметра. А за неправильное указание выколотой точки (или не указание её вообще) – ноль баллов за задание.

• Решение в целом должно быть математически грамотным. Слишком подробные пояснения не требуются, но желательно дать какую-то лаконичную характеристику, например, функций, чьи графики Вы строите.

• Конечно, график не может быть абсолютно точным и правильным. Но если он построен криво, то балла Вам не дадут. Поэтому стоит стараться рисовать график аккуратно, чтобы он реалистично выглядел. В том числе стоит подписывать «важные» точки ещё и для этого. Если вдруг кажется, что, например, вершина параболы смещена на половину клетки куда-то не туда, но Вы подпишите её координату, балл не снимут.

• На координатных осях важно указать единичный отрезок и направление осей.

• В качестве практики можно брать примеры с сайта ФИПИ (https://oge.fipi.ru/bank/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0), указав в «подборе заданий» раздел КЭС – функции и поставив галочку около «развёрнутый ответ». Задания с этого сайта максимально приближены к тому, что попадётся Вам на экзамене в этом году, т.е. нет устаревших заданий, заданий не типа №22 ОГЭ. Но на этом сайте Вы найдёте только задания, без ответов и решений. На других сайтах ответы могут быть, даже с решением (может, иногда не совсем полным), но задания устаревшие, прошлых лет.

Ответы для самоконтроля

№1) m (3;4)

№2) m [4;+∞)

№3) m (3;5)

№4) m (6;+∞)

№5) m [9;+∞)

№6) k = -4; k = 4; k = 5

№7) k = -7,25; k = -5; k = 5

№8) k = 1,96

№9) m = 3; m = 3,5

№10) m = 5; m = 1,96

№11) m = -9; m = 4

№12) m = -0,25; m = 0

№13) 4 точки

№14) 4 точки

№15) m = -2

№16) k = -6,25; k = 0; k = 6,25

№17) m = -1; m = 1

№18) m = -1; m = 1

28