Решение треугольников

Учитель Алигаджиева Суйкум Ибнуяминовна

Цели урока:

• Познакомить учащихся с методами решения треугольников;
• закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов;
• научить применять эти теоремы в ходе решения задач;
• развивать логическое мышление, память, математическую речь, прививать интерес к геометрии;
• воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Стороны и углы треугольника

B

В любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший

угол

Сумма углов треугольника

180 0

a

c

C

A

b

Синус, косинус и тангенс угла.

sin (90 – α) =

cos α

cos (90 – α) =

sin α

Формулы

приведения

sin (180 – α)=

sin α

cos (180 – α) =

- cosα

Укажите значение синуса и косинуса углов

• Sin α =
• Cos α =
• Sin β =
• Cos β =
• Sin γ =
• Cos γ =

• α = 150 0

• β = 30 0

• γ = 120 0

-

-

Укажите градусную меру угла

• Sin β =
• Cos β =
• Sin γ =
• Cos γ = -
• Sin α = 1

• β = 45 0 , β = 135 0
• β = 60 0
• γ = 60 0 , γ = 120 0
• γ = 135 0
• α = 90 0

Теорема синусов

B

a

c

C

A

b

Запишите теорему синусов

для треугольника MNK

N

M

K

Теорема косинусов

B

a

c

C

A

b

Запишите теорему косинусов для вычисления

стороны СЕ в треугольнике CДЕ

Д

Е

С

Задача

Ответ:

Решение треугольников

Решить треугольник – это значит найти его неизвестные элементы по известным.

Решение треугольников

По двум сторонам и углу между ними

По трем сторонам

По стороне и прилежащим к ней углам

По двум сторонам и углу между ними

1. По теореме косинусов найти третью сторону

B

2. По теореме косинусов найти один из углов (β)

c

C

A

b

По таблице Брадиса найти угол

3. γ=180 – α – β (сумма углов треугольника)

По стороне и прилежащим к ней углам

B

1. γ = 180 – α – β (сумма углов треугольника)

2. По теореме синусов найти одну из сторон, например а

c

3. По теореме синусов найти третью сторону

C

A

По трем сторонам

1. Найти один угол по теореме косинусов

B

c

a

По таблице Брадиса найти β

2. Взять другую сторону (a),

по теореме косинусов:

C

A

b

По таблице Брадиса найти α

3. γ = 180 – α – β

(сумма углов треугольника)

Пример.

A

Дано: a = 5; β = 30 0 γ = 45 0 Найти: b, с, α.

3,66

2,59

B

C

Решение: 1. α = 180 0 – β – γ = 180 0 - 30 0 - 45 0 = 105 0

5

2.

3.

Решение задач - пример № 1.

Дано:

Решение:

β

a

a = 20 см

γ = 180° - (β +  )

с

  = 75 °

γ = 180° - (75° + 60°) = 45°

γ



 β = 60°

a / sin  = b / sin β = c / sin γ

b

Найти:

b = a  (sin β / sin γ)

 γ - ?

b - ?

c - ?

b = 20  (sin 60° / sin 75°)  20  (0,866 / 0,966)  17,9

c = a  (sin γ / sin  )

c = 20  (sin 45° / sin 75°)  20  (0,7 / 0,966)  14,6

Ответ: 4 5°; 17,9 см; 14,6 см.

Далее

Решение задач - пример № 2.

Дано:

Решение:

a

c

c =  a ² + b ² - 2  a  b  cos γ

a = 7 м

β



b = 23 м

γ

 γ = 130°

b

c =  49 + 529 – 2  7  23  (- 0,643)  28

Найти:

cos  = (b ² + c ² - a ²) / 2  b  c

 - ?

 β - ?

c - ?

cos  = (529 + 784 – 49) / 2  23  28  0,981

  11°

 β =180° - (  + γ) = 180° - (11° + 130°)  39°

Ответ: 28 см; 39°; 11°.

Далее

Решение задач - пример № 3.

Решение:

Дано:

a = 7 см

cos  = (b ² + c ² - a ²) / 2  b  c

β

c

a

b = 2 см

cos  = (4 + 64 – 49) / 2  2  8  0,981

c = 8 см

  54°



Найти:

cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2  a  c

γ

 - ?

• β - ?

 γ - ?

cos β = (49 + 64 – 4) / 2  7  8  0,973

b

 β  13°

 γ  180° - (  + β) = 180° - (54° + 13°) = 113°

Ответ: 54°; 13°; 113°.

Далее

Рефлексия.

• Я сегодня таскал тяжёлые камни. Я сегодня добросовестно выполнял свою работу. Я сегодня строил храм.
• Я сегодня таскал тяжёлые камни.
• Я сегодня добросовестно выполнял свою работу.
• Я сегодня строил храм.

Выход