Способы решения иррациональных уравнений и неравенств, 10 класс

Алгебра и начала математического анализа 10 класс Дата 12.01.2026

Тема: Способы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Тип урока: Закрепление знаний (повторительно-обобщающий)
Цель урока: Закрепление и систематизация способов решения иррациональных уравнений; формирование навыков выбора и применения метода решения в зависимости от вида уравнения. Способы решения неравенств прочитать дома.

Задачи урока:

• Образовательные: повторить и закрепить основные методы (разложение под знак корня, возведение в квадрат с проверкой, введение замены, исследование области определения); отработать типовые приемы на примерах.

• Развивающие: развитие логики, анализа, умения формулировать шаги решения, контроля ошибок.

• Воспитательные: формирование аккуратности в работе с областью определения и проверкой решений, ответственности за результат.

Методы и приёмы:

• Объяснительно-иллюстративный (краткий вводный повтор), проблемный и частично-поисковый (разбор задач), практическая работа индивидуально, фронтальная проверка, рефлексия.

Основные способы решения иррациональных уравнений, рассматриваемые на уроке:

1. Прямое возведение в квадрат (с обязательной проверкой и контролем ОДЗ).

2. Выявление области определения (ОДЗ).

3. Разложение под корнем/вынос общего множителя, приведение к квадрату разности/суммы.

4. Умножение на сопряженную скобку.

Ход занятия

1. Организационный момент (1 минута)

2. Мотивация и постановка задач (1 минуты)

   • Краткое вступление: почему важно уметь решать иррациональные уравнения. Формулировка целей урока: закрепить способы и научиться быстро выбирать метод.

3. Актуализация знаний (1 минут)

   • Вопросы к классу (фронтально): Что такое иррациональные уравнения? Какую роль играет ОДЗ? Какие опасности при возведении в квадрат?

   • Ожидаемые ответы: определения, примеры неверных решений без проверки, необходимость контроля.

4. Краткий теоретический блок (3 минут)

   • Беседа учитель с учащимися. Вспоминаем алгоритм решения иррациональных уравнений: 1) Найти ОДЗ (подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели не ноль и т.п.). 2) Применить метод (возведение в квадрат), выполняем проверку.

   • 3) Опрос у доски. (10 минуты), (ученика решают уравнения на доске, методом возведение в квадрат)

5. Пример 1.

6. Пример 2.

7. Пример 3.

Учитель задаёт наводящие вопросы для контроля понимания.

Во время разбора учитель акцентирует внимание на: обязательной проверке корней, возможности появления посторонних корней при возведении в квадрат.

Примерное решение. Пример 1.

Пример 2.

Ответ: корней нет

Пример 3.

–посторонний корень

1. Три ученика, получив заранее задание решить данное уравнение демонстрирует свое решение на доске (12минут)

Пример 4.

Пример 5. + + = 0

Пример 6.

Примерное решение.

Пример 4. Исследуем ОДЗ.

Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.

х-2,5≥0

3х -2х² +5 ≥0 ( условия ОДЗ уравнения)

4х² -26х +40 ≥0

Решая эту систему неравенств получим:

х € [2,5 ;+∞ )

х € [-1; 2,5] Откуда х = 2,5.

х € ( -∞ ; 2,5] ᴗ [4 ; +∞ )

При проверке выясняется, что это и есть единственный корень уравнения.

Пример 5.

+ + = 0

Левая часть уравнения представляет собой сумму трех корней четной степени, поэтому их сумма неотрицательная, т.е :

Второе уравнение линейное и его корень x=1, при проверке видно, что это корень и для первого, и для третьего уравнения

Ответ: x=1

Пример 6.

В этом случае ОДЗ просто необходимо

Решением системы является корень x=1.

1. Разложение на множители. Решение уравнений с помощью разложения левой части на множители - часто встречающийся метод, включающий и иррациональные уравнения. (5 минут)

Пример 7.

=0 или =0 в этом случае, при проверке ОДЗ,

х=1 получим:

x € Ø

Ответ: x=1

10. Умножение на сопряжённое выражение. Если в левой части иррационального уравнения сумма или разность корней, а подкоренное выражение – линейная функция одинаковыми линейными коэффициентами, а в правой части некоторое число, то левую и правую части уравнения умножают на выражение, сопряженное выражению в левой чисти ( + и - ) - сопряженные). Рассмотрите решение иррационального уравнения методом умножения на сопряженное выражение. (5 минут)

Пример 8. Умножение на сопряженную скобку: решаем на доске , учитель задает наводящие вопросы и знакомит с этим методом решения

11.Учащимся предлагают решить уравнений еще несколько уравнений данным способом. (5минут)

1. Рефлексия (1 минуты)

• Учитель просит устно ответить на вопросы (кратко, по кругу или через поднятие рук):

• Что нового вы повторили/усвоили?

• Какие приёмы запомнились?

• В чём испытываете затруднение?

1. Домашнее задание.(1минута) Стр. 69 №173 повторить § 9-10 примеры 6-9 записать в тетрадь, решить два уравнения из предложенных в дополнительном задании.

(Учитель записывает домашнюю работу на доске и кратко объясняет). _ Дополнительное задание

Карточка Решить уравнения:

+ = 4