Стереометрия 10 класс

решение задач по стереометрии. v

Методы решения стереометрических задач

Рассматриваются следующие типы стереометрических задач:

1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Угол между прямой и плоскостью
3. Угол между плоскостями
4. Расстояние от точки до плоскости
5. Расстояние между параллельными плоскостями
6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
7. Расстояние от точки до прямой

1. Угол между скрещивающимися прямыми

Определение: Две прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися прямыми.

Признак скрещивающихся прямых: Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые – скрещивающиеся.

Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

Поэтапно-вычислительный

1 способ — с помощью параллельного переноса: производится параллельный перенос скрещивающихся прямых так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

2 способ

а) Пусть и – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, и через какую-нибудь точку , лежащую на прямой , проведем плоскость .

б) Через точку проведем прямую . Получившийся – угол между скрещивающимися прямыми.

в) Выберем на прямой – какую-нибудь точку , а на прямой – точку . Получим треугольник . Вычислим стороны треугольника и по теореме косинусов найдем . Модуль берем так нас интересует острый угол.

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.

Например, в правильном тетраэдре . Так как - проекция , то .

Метод трех косинусов. и – скрещивающиеся прямые.

Тогда косинус угла между ними:

Например, если - середина , , , то из треугольника : По теореме Пифагора:

Аналогично, .

Таким образом, , .

Следовательно,

Еще один способ. Есть прекрасная теорема:

Теорема (о расстоянии и угле скрещивающихся прямых). Расстояние между скрещивающимися прямыми) равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной ее проекцией дополняет до угол между данными скрещивающимися прямыми.