2023 ЕГЭ Январь Математика Вариант 3

1. Тип 1 № 27828 

Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна  а острый угол равен 60°.

2. Тип 2 № 27074 

Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды 

3. Тип 3 № 325904 

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

4. Тип 4 № 508866 

В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

5. Тип 5 № 26652 

Найдите корень уравнения 

6. Тип 6 № 26749 

Найдите значение выражения 

7. Тип 7 № 119977 

Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени  с.

8. Тип 8 № 27966 

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой  кг и радиуса  см, и двух боковых с массами  кг и с радиусами  При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в  даeтся формулой  При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 ? Ответ выразите в сантиметрах.

9. Тип 9 № 26579 

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

10. Тип 10 № 508961 

На рисунке изображён график функции  Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.

11. Тип 11 № 77471 

Найдите точку максимума функции 

12. Тип 12 № 521850 

а)  Решите уравнение: 

б)  Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [log₃0,5; log₃2].

13. Тип 13 № 509948 

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N  — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а)  Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б)  Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

14. Тип 14 № 508424 

Решите неравенство: 

15. Тип 15 № 509468 

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

16. Тип 16 № 517522 

Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC  — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.

а)  Доказать, что MA = MD.

б)  Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.

17. Тип 17 № 509825 

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

18. Тип 18 № 514744 

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а)  Приведите пример числа, для которого это частное равно 

б)  Может ли это частное равняться 

в)  Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 2