823, 25.03.2020 "Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка".

Практическая работа по теме: «Решение дифференциальных уравнений I-го порядка»

1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 
1) независимую переменную  ;
2) зависимую переменную   (функцию);
3) первую производную функции:  .

Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций  , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение 

  .

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,   – это общий интеграл.

Вместо записи   обычно пишут  .

В данном случае:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций   является общим решением дифференциального уравнения  .

Придавая константе   различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию 

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение.

Интегрируем уравнение:

Итак, общее решение:  . На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  .

Необходимо подобрать такое значение константы  , чтобы выполнялось заданное начальное условие  .

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

В общее решение   подставляем найденное значение константы  :
 – это и есть нужное нам частное решение.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение 

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Решение распишу очень подробно:

Ответ: общий интеграл: 

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию  . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы   и  , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию 

Подставляем найденное значение константы   в общее решение.

Ответ: частное решение: 

Задания:
Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка:

1) ; 2) ; 3) ;