Алгебра 9 класс

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. ( Н.Е.Жуковский )

Определение квадратичной функции

Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида :

y= ax 2 +bx + c

где: a,b,c – числа

Х – независимая переменная

а 0

• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ
• А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ

1. Определить, какие из данных функций являются квадратичными :

у = 5х + 2

у = х 2 – 1

у = 5х 2 + 3х

у = - ( х + 3 ) 2 + 2

у = 6х 3 – 5х 2 + 7

у = 7х 2 + 2х -1

у = х 2 – 5х + 6

у = 6х 4 + 5х 2 + 7

График любой квадратичной функции – парабола.

Алгоритм построения параболы у = ах 2 + b х + с :

• Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симмертрии.
• Определить направление ветвей параболы.
• Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют).
• Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией.

Построение графика функции

у

х

Мы уже строили графики функций вида

у = ах 2 + b х + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде:

ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с =

= а + с =

= а + с = а

• Мы уже строили графики функций вида у = ах 2 + b х + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а
• Мы уже строили графики функций вида у = ах 2 + b х + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а
• Мы уже строили графики функций вида у = ах 2 + b х + с , выделяя квадрат двучлена. Используем этот прием в общем виде: ах 2 + bx + с = а (х 2 + x ) + с = = а + с = = а + с = а

6

Нам удалось преобразовать квадратный трехчлен к приведенному виду у = а ( х – x 0 ) 2 + y 0 ,

Теперь если , то получаем ,

чтобы построить график функции у = ах 2 + bx + с ,

надо выполнить параллельный перенос параболы у = ах 2 , чтобы вершина оказалась в точке ( x 0 ; y 0 )

-

Таким образом, мы доказали теорему:

.

Графиком квадратичной функции

у = ах 2 + b х + с является парабола , которая получается из параболы

у = ах 2 параллельным переносом .

Вершина параболы - ( х 0 ; у о ) ,

где : х о = - у 0 =

Осью параболы будет прямая

х = -

6

0 - Множество значений при a Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта . 6 " width="640"

Свойства квадратичной функции

Функция непрерывна

Множество значений при a0 -

Множество значений при a

• Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта .

6

Вспоминаем :

Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение

b 2 – 4ac

Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac .

Возможны три случая:

• D  0
• D  0
• D  0

6

•   если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

•   если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
•   если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена ( а ) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное),

•   абсцисса вершины параболы равна

0 Дискриминант D 0 Положительные значения D = 0 Отрицательные значения D Везде, кроме точки Промежуток возрастания Везде Промежуток убывания Отсутствуют Минимальное значение У min = f ( )   " width="640"

Свойство функции при

а 0

Дискриминант

D 0

Положительные значения

D = 0

Отрицательные значения

D

Везде, кроме точки

Промежуток возрастания

Везде

Промежуток убывания

Отсутствуют

Минимальное значение

У min = f ( )

 

0 Отрицательные значения D = 0 Положительные значения Промежуток возрастания D Везде, кроме точки Отсутствуют Промежуток убывания Везде Максимальное значение У max = f ( )   " width="640"

Свойство функции при

а

Дискриминант

D 0

Отрицательные значения

D = 0

Положительные значения

Промежуток возрастания

D

Везде, кроме точки

Отсутствуют

Промежуток убывания

Везде

Максимальное значение

У max = f ( )

 

-

ветви параболы направлены вверх ,

При

у

у

При

ветви параболы направлены вниз

f(x 0 )

х

х

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз

f ( x ) = - 3х 2 + 1

f ( x ) = 7х 2 + 2х -1

f ( x ) = ( х + 2 ) 2 – 3

f ( x ) = 0,5 х 2 – 6х + 5

f ( x ) = ( х + 2 ) 2 – 3

f ( x ) = - 2 ( х – 3 ) 2 + 4

f ( x ) = 6х 3 – 5х 2 + 7

f ( x ) = х 2 + (а + 1)х + 3

Для закрепления теоретических знаний решим задачу.

Задание: Построить график функции :

y = х 2 - 6 х + 8

Решение :

у =

Х 2 -6 х + 8

у = (х 2 - 2 х 3 х х + 9) – 1 =

= ( х - 3 ) 2 -1

График функции можно построить двумя способами:

Построение графика функции по 1 способу:

Построим график

у = х 2 ,

затем произведем параллельный его перенос на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

0 ( Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8 ) " width="640"

Ось симметрии

Построение графика функции по 2 способу:

Построим график , используя свойства квадратичной функции у = х 2 - 6 х + 8 :

( 3; -1)- вершина парабол ы (т.к. х = -(b/ 2a) ; y=(4ac – b 2 ) / 4a )

Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х = 2 и Х = 4

а 0 ( Ветви параболы направлены вверх)

Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8 )

0 при х 4 f ( x ) " width="640"

Ось симметрии

Область значений функции – Е ( f ) = [ -1 ; + )

Функция возрастает в промежутке [ +3 ; + )

Функция убывает в промежутке ( - ; +3 ]

Наименьшее значение функции равно -1

Наибольшего значения функции не существует

f ( x ) 0 при х 4

f ( x )

Литература

1. Методическая разработка урока «Функция у = ах 2 + bx + с, ее свойства и график».УМК «Алгебра, 8 класс» А.Г. Мордкович.Гл. 2 «Квадратичная функция».

2. Мерзляк А.Г.Полонский В.Б. Якир М.С. Алгебра:Учебник для 9 кл. общеобразовательных учебных заведений.- Х. Гимназия, 2009