Двугранный угол

Тема урока: Двугранный угол. Угол между плоскостями.

04.02.19

Цель урока:

• Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла
• Рассмотреть задачи на применение этих понятий
• Сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями

Основные понятия

• Прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости

a

α

а- общая граница полуплоскостей называется ребром двугранного угла.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не прилежащими одной плоскости

• а- общая граница полуплоскостей называется ребром двугранного угла. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а , не прилежащими одной плоскости

β

а

α

Назовите предметы, имеющие форму двугранного угла

BKA- линейный угол двугранного угла BCDA

C

K

А

В

D

Алгоритм построения линейного угла.

Угол A О B – линейный угол двугранного угла ADEB .

D

1 способ

2 способ

B

O

A

B

O

D

E

A

E

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

ADEB = AOB

Плоскость (AOB) DE

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым

90

45

135

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу .

Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены

O

Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены

А

В

Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны,

как углы с сонаправленными сторонами

O

1

А 1

В 1

Задачи на построение линейного угла

Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в

пирамиде РАВС грань АВС правильный треугольник, О – точка

пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС.

Р

В

А

О

Н

К

С

Решение задач по готовым чертежам

Р

Дано:

РАВС – пирамида,

Доказать:

- линейный угол РАСВ

В

A

С

Решение задач по готовым чертежам

№ 167

В тетраэдре DABC все ребра равны,

точка М – середина ребра АС.

Докажите, что угол DMB-

линейный угол

двугранного угла BACD

D

A

B

M

C

Дано:

D АВС – пирамида, AB=BC, K середина AC,

DB (ABC)

Доказать:

линейный угол

DACB

D

В

А

K

С

Дан ромб АВС D.

Прямая РС перпендикулярна плоскости АВС D.

Построить линейный угол двугранного угла с ребром В D и линейный угол двугранного угла с ребром А D .

P

С

В

O

А

D

H

В параллелограмме АВС D угол А D С равен , А D = 8 см,

D С= 6 см , прямая РС перпендикулярна плоскости ( АВС ) , РС= 9 см.

Найти величину двугранного угла с ребром А D и площадь

параллелограмма.

Решение:

P

120

H

Работа в группах

Домашнее задание № 166,171

Урок – закрепление по теме «Угол между прямой и плоскостью»

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1) АМ ( АВС ),

АВ = АС , CD = DB .

Докажите, что

MD ВС .

Решение задач.

2. ABCD – параллелограмм, BM ( АВС ), МС DC .

Определите вид параллелограмма ABCD .

1. Сделайте чертежи к задачам

№ 1

Дано: Δ ABC , АС = ВС, АВ лежит в плоскости α,

  CD  ⊥  α, С  ∉  α . Построить линейный угол

двугранного угла   CABD . 

CM  ⊥   AB ,  DC  ⊥  АВ.  ∠ CMD  - искомый.

№ 2. Дано: Δ ABC , А B = ВС, АВ лежит в плоскости α,   CD  ⊥  α, С  ∉  α , DM = 15, DB = 12  

Построить линейный угол двугранного угла

  CABD . Найти AC.

CM  ⊥   AB ,  DC  ⊥  АВ.  ∠ CMD  - искомый

№ 3 . Дано: Δ ABC ,  ∠ C  = 90°, ВС лежит в

плоскости α, АО  ⊥  α,  A  ∈  α .

Построить АВСО. 

AB  ⊥   BC , АО  ⊥  ВС,

значит, ОС  ⊥  ВС. 

∠ ACO  - искомый.

№ 3 Дано: Δ ABC ,  ∠ С = 90°, АВ лежит в плоскости α, 

CD  ⊥  α, С  ∉  α.  Построить  DABC . 

CK  ⊥   AB ,  DC  ⊥  АВ,  DK  ⊥  АВ, значит,  ∠ DKC  - искомый

• Если точка равноудалена от всех сторон многоугольника, то она проецируется на его плоскость в центр вписанной окружности.
• Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проецируется на его плоскость в центр описанной окружности.

1. Δ АВС , АВ = ВС = АС , О – центр Δ АВС , DO ( АВС ), DC = 10, DO = 8.

Найдите S АВС , расстояние от точки D до сторон Δ АВС .

2. Δ АВС , D ( АВC ), AD = BD = СD , АОВ = 60°.

Найдите АСВ .

Домашнее задание

П. 22 № 167, 170.