Двугранный угол

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Планиметрия

Стереометрия

А

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки.

В

С

Двугранный угол

А

В

С

2

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a , не принадлежащими одной плоскости.

Прямая a – ребро двугранного угла

a

В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая книга, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Две полуплоскости – грани двугранного угла

3

Двугранный угол АВ N М, где В N – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла

D

Угол Р DEK

S

O

А

Р

К

N

X

F

M

В

E

Угол SFX – линейный угол двугранного угла

Алгоритм построения линейного угла.

Угол РОК – линейный угол двугранного угла Р DE К.

D

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

O

Р

К

E

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены

O

Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены

А

В

Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны,

как углы с сонаправленными сторонами

O

1

А 1

В 1

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

Н-я

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Треугольник АВС – равнобедренный.

TT П

АС ВМ

АС N М

H -я

В

П-я

П-р

А

К

M

П-я

N

С

Угол В MN – линейный угол двугранного угла ВАСК

8

Н-я

П-я

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Треугольник АВС – прямоугольный.

TT П

АС ВС

АС N С

H -я

П-я

В

П-р

А

К

N

С

Угол ВС N – линейный угол двугранного угла ВАСК

9

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

11

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,

плоскости стены и потолка.

12

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

В

С

D

А

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

13

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,

по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.

a

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

14

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .

№ 1 7 8.

A

Подсказка

c

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

B

C

a

c

b

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

№ 180.

Подсказка

b

a

c

Признак параллельности прямой и плоскости

a

b

№ 181.

Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.

А

М

a

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

С

В

17

Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a . Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.

№ 18 2 .

М

А

a

С

В

№ 183.

Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .

a

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед

Две грани параллелепипеда параллельны.

1 0 . В прямоугольном параллелепипеде все шесть

граней – прямоугольники.

2 0 . Все двугранные углы прямоугольного

параллелепипеда – прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Стереометрия

Планиметрия

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов

трех его

измерений.

В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений.

b

С

В

a

d

с

d

D

А

a

b

d 2 = a 2 + b 2

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

23

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

C 1

D 1

B 1

A 1

d

с

C

D

Следствие.

Диагонали прямоугольного

параллелепипеда равны.

а

B

A

b

Ребро куба равно а . Найдите диагональ куба.

№ 188.

d 2 = a 2 + b 2 + с 2

D 1

С 1

d 2 = 3 a 2

А 1

В 1

d = 3 a 2

а

d = a 3

D

С

а

d = a 3

А

а

В

m

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости

любой грани, в которой не лежит эта вершина, если:

а) диагональ грани куба равна m .

б) диагональ куба равна d .

№ 189.

Подсказка

D 1

А

С 1

А 1

В 1

Н

D

С

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

А

В

Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:

a ) АВВ 1 С; б) А DD 1 B ; в) А 1 ВВ 1 К, где K – середина

ребра А 1 D 1 .

№ 190.

D 1

С 1

K

А 1

В 1

D

С

А

В

Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 . Докажите, что плоскости

АВС 1 и А 1 В 1 D перпендикулярны.

№ 191.

D 1

С 1

А 1

В 1

D

С

А

В

Н-я

Н-я

П-я

№ 192.

Найдите тангенс угла между диагональю куба и

плоскостью одной из его граней.

D 1

С 1

Подсказка

А 1

В 1

М

П-Р

П-Р

D

С

А

Н

П-я

А

В

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

m

Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 .

Найдите расстояние между:

а) прямой А 1 С 1 и и плоскостью АВС;

№ 193.

Подсказка

D 1

С 1

А 1

В 1

a II

a

d

D

С

n

В

А

Расстояние от произвольной точки

прямой до плоскости называется расстоянием

между прямой и параллельной ей плоскостью

m

№ 193.

Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1

Найдите расстояние между:

б) плоскостями АВВ 1 и DCC 1 ;

D 1

С 1

Подсказка

А 1

II

В 1

d

D

С

n

А

В

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется

расстоянием между параллельными плоскостями.

m

Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 .

Найдите расстояние между :

в) прямой DD 1 и плоскостью АСС 1 .

№ 193.

Подсказка

D 1

С 1

А 1

В 1

a II

a

d

С

D

n

В

А

Расстояние от произвольной точки

прямой до плоскости называется расстоянием

между прямой и параллельной ей плоскостью

Ребро куба равно а . Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:

а) диагональ куба и ребро куба;

№ 1 94 .

Подсказка

D 1

a II

a b

С 1

a

А 1

В 1

b

D

С

А

а

В

Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Ребро куба равно а . Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими:

б) диагональ куба и диагональ грани куба.

№ 1 94 .

Подсказка

D 1

a II

С 1

a b

a

А 1

В 1

b

D

С

А

а

В

Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

№ 1 9 6.

Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его

сечение плоскостью, проходящей через:

а) ребро АА 1 и перпендикулярной к плоскости ВВ 1 D 1 ;

D 1

С 1

А 1

В 1

D

С

А

В

№ 1 9 6.

Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его

сечение плоскостью, проходящей через:

б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости С DA 1 .

D 1

С 1

А 1

В 1

D

С

А

В

1. Найдите угол А 1 ВС 1

2. Доказать, что MN II А 1 С 1 , где M и N – середины ребер куба.

D 1

С 1

А 1

В 1

С

D

N

А

M

В

Найдите площадь сечения, проходящего

через точки А, В и С 1

D 1

С 1

6

А 1

В 1

8

D

С

7

А

В

Н-я

П-я

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

Треугольник АВС – тупоугольный.

TT П

АС В S

АС NS

H -я

П-я

В

П-р

А

К

С

N

S

Угол В SN – линейный угол двугранного угла ВАСК

39

Н-я

П-я

Построить линейный угол двугранного угла В D СК.

АВС D – прямоугольник.

А

TT П

D С B С

D С N С

H -я

П-я

В

D

П-р

К

N

С

Угол ВС N – линейный угол двугранного угла В D СК

40

Н-я

Построить линейный угол двугранного угла В D СК.

АВС D – параллелограмм, угол С острый.

TT П

D С В M

D С NM

А

H -я

П-я

В

D

П-р

К

M

N

П-я

С

Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК

41

П-я

Н-я

Построить линейный угол двугранного угла В D СК.

АВС D – параллелограмм, угол С тупой.

TT П

D С В M

D С NM

H -я

П-я

А

В

П-р

К

D

N

С

M

Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК

42

П-я

Н-я

Построить линейный угол двугранного угла В D СК.

АВС D – трапеция, угол С острый.

TT П

D С В M

D С NM

H -я

П-я

А

В

П-р

К

D

N

M

С

Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК

43

Н-я

Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой М N . В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой М N и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМ NC .

№ 166.

TT П

А

М N А B

MN ВС

H -я

П-я

П-р

N

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

В

С

П-я

M

Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМ NC

44

В тетраэдре D АВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол D МВ – линейный угол двугранного угла ВАС D .

№ 167.

D

А

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

В

M

С

45

Двугранный угол равен . На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

№ 168.

d

В

?

А

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

N

46

№ 169.

Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180 0 .

А

О

F

В

Л.С. Атанасян «Геометрия 10-11»

47