ЕГЭ 2023 Январь Математика Вариант 14

Тип 1 № 27613 

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.

2. Тип 2 № 27068 

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

3. Тип 3 № 285922 

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов  — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

4. Тип 4 № 508840 

В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

5. Тип 5 № 77374 

Решите уравнение 

6. Тип 6 № 26805 

Найдите  если 

7. Тип 7 № 317540 

На рисунке изображён график функции  и двенадцать точек на оси абсцисс:      В скольких из этих точек производная функции  отрицательна?

8. Тип 8 № 27963 

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону  где t  — время в минутах, мин  — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин²  — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет  Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

9. Тип 9 № 99614 

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой  — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

10. Тип 10 № 509271 

На рисунке изображены графики функций  и  которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.

11. Тип 11 № 26726 

Найдите точку максимума функции 

12. Тип 12 № 527633 

а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

13. Тип 13 № 507634 

Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. M  — середина ребра BC, L  — середина ребра AB.

а)  Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит ребро AB в отношении 3 : 1, считая от вершины A.

б)  Найдите угол между прямыми DM и CL.

14. Тип 14 № 508556 

Решите неравенство: 

15. Тип 15 № 513208 

Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное целое значение процентной ставки.

16. Тип 16 № 517516 

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что  Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение 

17. Тип 17 № 517267 

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [−1; 0].

18. Тип 18 № 514629 

Последовательность  состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M₁  =  1, M₂  =  2.

а)  приведите пример такой последовательности, для которой M₃  =  1,5.

б)  существует ли такая последовательность, для которой M₃  =  3?

в)  Найдите наибольшее возможное значение M₃.