Фигуры вращения

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ

ЗАНЯТИЕ 1. Определение и простейшие примеры фигур вращения.

• Дается определение фигуры вращения, а также понятие поворота в пространстве относительно прямой.
• Рассматриваются задачи по данной теме.
• Учащимся предлагаются задачи для самостоятельной работы.

Поворот (вращение) на угол φ.

Преобразованием пространства , при котором все точки прямой а остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются относительно этой прямой на угол φ .Прямая а называется осью вращения .

Фигура вращения

Говорят, что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси a , если точки фигуры Ф получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг оси a . Фигура Ф при этом называется фигурой вращения . При вращении точки A вокруг прямой a получается окружность . Сфера получается вращением окружности вокруг ее диаметра. Аналогично, шар получается вращением круга вокруг какого-нибудь его диаметра.

Если же вращать прямоугольник относительно одной из его сторон, то получим цилиндр .

Конус – результат вращения прямоугольного треугольника относительно его катетов. Усеченный конус получаем вращением трапеции .

Задание.

Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, и проходящей через вершину острого угла перпендикулярно катету?

Ответ : Цилиндр, из которого вырезан конус .

ЗАНЯТИЕ 2. Фигуры , получающиеся вращение кривых и криволинейных трапеций.

0). При вращении параболы относительно оси Оу получается фигура, называемая параболоидом вращения . " width="640"

Парабола.

Кривая, задаваемая уравнением у=ах 2 (а0).

При вращении параболы относительно оси Оу получается фигура, называемая параболоидом вращения .

Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

Физическое значение параболоида.

Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида . На этом свойстве устроены параболические телескопы, антенны, прожектора, проекторы.

Гипербола.

Кривая, задаваемая уравнением

При вращении гиперболы относительно оси Оу получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения .

Шуховская башня в Москве

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

ЗАНЯТИЕ 3. Вращение многогранников .

Рассматриваются фигуры в пространстве, получающиеся вращением различных многогранников.

Вращение правильной n-угольной пирамиды, относительно ее высоты.

Вращение прямой призмы относительно прямой, проходящей через центры основания призмы .

Вращение куба.

При вращении куба вокруг диагонали получается фигура, поверхность которой состоит из боковых поверхностей двух конусов и поверхности гиперболоида вращения.

При вращении куба вокруг прямой, соединяющей середины двух противоположных ребер, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и двух поверхностей гиперболоидов вращения .

Куб повернут вокруг диагонали на угол 60 0 . Правильная 6-я бипирамида является общей частью исходного повернутого куба.

Тетраэдр повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является объединением и пересечением исходного тетраэдра и повернутого?