Математиканы окутуу методикасы, 6-семестр, 1-лекция

1-лекциянын темасы: Сан түшүнүгү жана он ичиндеги сандар.

Он ичиндеги сандардын курамы жана нөл саны

1. сан түшүнүгүн аныктоо

2. бир орундуу сандар жана алардын курамы

3. сандардын катарындагы алардын жайгашуу орду

4. нөл саны

5. сандарды салыштыруу

Адам баласы тарабынан реалдуу көптүктөрдүн элементтеринин (жаныбарлардын, адамдардын, түрдүү предметтердин) санын эсептөө үчүн, ошондой эле чоңдуктарды өлчөө процессинин жыйынтыктарын (узундук, масса, сыйымдуулук, убакыт, аянт) белгилөө үчүн ойлоп табылгандыгына байланыштуу терс эмес бүтүн сандар натуралдык деп аталат.

Санды көптүктүн элементтерин эсептөө жыйынтыгы катары жана чоңдуктарды (убакыт, узундук, масса жана башкаларды) өлчөө жыйынтыгы катары айырмалоого болот.

Башталгыч класстарда негизинен баланы сандын ушундай мүнөздөлүшү менен тааныштыруу жолдору каралат.

Башка математикалык түшүнүктөр сыяктуу эле, натуралдык сан түшүнүгү практикалык муктаждыктардан келип чыккан. Байыркы заманда эле түрдүү көптүктөрдү өз ара салыштыруу керек болгон.

Көптүктөрдү салыштыруунун эң жөнөкөй жолу болуп алардын ортосундагы бир маанилүү туура келүүчүлүктү орнотуу эсептелет, башкача айтканда ал көптүктөрдүн ортосунда элементтердин түгөйүн түзүү. Эгер мындай туура келүүчүлүк орун алса, анда көптүктөрдүн элементтери бирдей санда же барабар көптүктөр болуп эсептелинишет.

Эгерде өз ара туура келүүчүлүктү орнотууда биринчи көптүктүн элементтери экинчи көптүктүн элементтеринин кандайдыр бир бөлүгү үчүн гана орун алса, биринчи көптүктө экинчиге караганда аз элемент бар экендиги аныкталат.

Мисалы: квадраттар көпбү же тегерекчелерби?

Албетте, санабай туруп эле түгөй түзсөк квадраттардын саны ашыкча экендиги аныкталат.

Демек биз байкагандай, биринчи көптүктүн элементтери менен экинчи көптүктүн элементтерин бир маанилүү туура келтирсек, биринчи көптүктүн элементтери экинчи көптүктүн элементтеринен көп экен.

Мезгилдин өтүшү менен бара – бара салыштыруу үчүн ортомчу – көптүктөр (манжалар, таштар, түймөчөлөр) колдонула баштаган. Алар «сан фигуралары» деп аталышат. Кийинки этаптарда ортомчу – көптүктөрдүн мүнөздөлүшүн абстрактташтыруу процессинин жыйынтыгында сан түшүнүгү пайда болот: бир, эки, үч жана башкалар.

Сандарды жана алардын үстүнөн амалдарды изилдөөчү илим арифметика деп аталат (arithmos сөзү грекчеден которгондо санды түшүндүрөт).

Сан – бул предметтердин көптүгүнүн сандык мүнөздөлүшү.

Натуралдык сандар реалдуу предметтерди эсептөөдө пайдаланылат. Сан көптүктүн предметтеринин касиеттеринен жана мүнөздөлүшүнөн көз – каранды эмес. Ар бир көптүк 1 эле сан менен мүнөздөлөт (эгер кайрадан эсептегенде башка натыйжа алынса эсептөө ката жүргүзүлгөн болот).

Цифра – бул сандын жазылышын белгилөөчү символ. Санды биз угабыз жана атайбыз. Цифраны биз көрөбүз, жазабыз жана атайбыз.

Цифралар түрдүү сүрөттөлүшкө ээ. Жалпы пайдаланылган цифралар араб цифралары деп аталышат (бирок алар индияда пайда болгон): 1,2,3,4,5,6,7,8,9 жана римдик: I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X. Рим цифралары басма түрүндө, араб цифралары басма жана курсивдик (жазма) түрдө сүрөттөлөт. Эске алынган системаларда цифраларга караганда сандардын белгилениши көп.

Өсүү тартибинде жайгашкан 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,… натуралдык же бүтүн терс сандар натуралдык сандардын катарын түзөт.

Бардык натуралдык сандарды жазуу мүмкүн эмес, себеби катарда акыркы сан жок. Ар бир натуралдык сандан кийин андан кийинки натуралдык сан орун алат.

Он ичиндеги сандар бир орундуу деп аталат. Алар бир цифра менен белгиленишет: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Сан көптүктүн сандык мүнөздөлүшүн белгилегендиктен, ал саналуучу натуралдык сан деп аталат. Эгер биз «канча?» деген суроо берсек, алардын саны жөнүндө кеп козголуп жаткан болот.

Көптүктөрдүн элементтерин саноодо номерлөө процесси жүргүзүлөт.

Саноо – бул анык номерге ар бир элементти ыйгаруу жолу менен көптүктү иреттөө процесси. Сан түшүнүгү көптүктүн элементтерин иреттештирүү тартиби жөнүндө түшүнүк менен тыгыз байланышкан. Бул учурда натуралдык сан кандайдыр бир элементтин иреттелүү номерин түшүндүрөт жана тиешелүү түрдө иреттик сан деп аталат. Чектүү көптүктүн элементтерин эсептөөдө тартиби менен гана жайгаштырбастан, ошондой эле көптүк канча элемент камтыгандыгы да аныкталат (эсептөөдө аталган акыркы иреттелген номер көптүктүн элементтеринин санын мүнөздөйт).

Мисалы: акыркы алма – бешинчи, демек баары беш алма.

Бул натуралдык сандардын орду кыргыз тилинде иреттик натуралдык сандар иреттик сан атоочторго чагылдырылат (биринчи, экинчи, үчүнчү жана башкалар) жана эсептик натуралдык сандар болсо эсептик сан атоочторго чагылдырылат (бир, эки, үч жана башкалар).

Саноо процесси атайын эрежелерге баш ийет:

1. биринчи белгиленген предметке 1 саны (эң кичине натуралдык сан) туура келет;

2. ар бир кийинки кадамда мурда белгиленбеген (бир эле предметти эки жолу эсептөөгө болбойт) предмет белгиленет (номерленет);

3. ага акыркы аталгандан кийинки (натуралдык сандар бир калыптагы тартип боюнча жайгашышат) туура келүүчү сан коюлат.

Аталган эрежелер сандарды натуралдык сандардын катарында түзүү принцибин аныктайт: ар бир кийинки сан мурунку сандан бирдикке чоң. Баланын бул принципти өздөштүрүүсү мектепте он ичиндеги сандарды номерлөөнү окутуунун борбордук маселеси болуп саналат.

Бул принциптин натыйжасы болуп натуралдык сандардын чексиз катары (сан канчалык чоң болбосун, ал санга бирди кошуп дайыма андан кийинки санды табууга болот) идеясы, ошондой эле 5+1, 8+1, 6–1, 7–1 түрүндөгү туюнтмалардын маанисин же мурунку санды атоо же кийинки санды атоо менен табуу ыкмасы эсептелет. Башкача айтканда берилген туюнтмалардын маанисин табуу үчүн кандайдыр бир арифметикалык амалды аткаруу зарылдыгы жок, болгону 1ди кошкондо берилген сандан кийинки сан келип чыгаарын жана 1ди кемиткенде берилген сандан мурунку сан келип чыгаарын түшүнүү жетиштүү. Ушундай туюнтмаларда жыйынтыкты алуу үчүн бала сандардын аталышын түз жана тескери тартипте жаттап алат.

Саноо жөндөмдүүлүгүнө төмөнкүлөр таандык: сан атооч сөздөрдү билүү, эсептөөдө анын аталыш тартибин билүүсү (жаттоо), көптүктүн элементтерин номерлөө процессинин маанисин түшүнүү, акыркы аталган номер көптүктүн эсептик курамын мүнөздөй тургандыгын түшүнүү. Саноону өздөштүрүүдө жүктөмдүн дээрлик көп бөлүгү механикалык эске таянылат, башкача айтканда саноону окутуу процесси репродуктивдүү (ой жүгүртүү операциясына эмес эске таянылат). Бала аны формалдуу деңгээлде өздөштүрбөшү үчүн алгачкы кадамдарда бул процессти сөзсүз предметтик аракеттер менен: алып коюу, көрсөтүү, үнүн чыгарып айтуу аркылуу коштоо керек.

Балага эч качан «10дон тескери көздөй сана» деп айтпаш керек. Саноо процесси «вектордук», мындайча айтканда саноо номерлердин өсүү тарабына гана карай аныкталаары мүмкүн. Сандардын аталышын тескери тартипте атоо саноо болуп эсептелбейт, себеби сөз – сан атооч, саноодо аталган акыркы сан «канча?» деген суроонун жообу, башкача айтканда берилген жыйындыдагы предметтердин санын мүнөздөйт.

Сан атоочторду тескери тартипте атоо жөндөмдүүлүгү кемитүү процессинде баланы окутуу үчүн базалык болуп саналат, ошондуктан мындай жөндөмдү калыптандыруу зарыл, бирок тапшырманы төмөнкүдөй түрдө формулировкалоо керек: «сандарды тескери тартипте ата» (бирок «тескери тартипте сана эмес»!). Ошентип «6дан 9га чейинки сандарды ата» сыяктуу тапшырмаларды сунуштоого болот (бирок «6дан 9га чейин сана» эмес). Баланы бир орундуу сандарды номерлөө менен тааныштырууда мугалим төмөнкүдөй тапшырмаларды колдонуусу сунушталат:

1. мурунку санга бирдикти кошуудан кийинки санды түзүү ыкмасы. 3 санынан кантип 4тү алууга болот? (3кө 1ди кошуу менен);

2. сандын катардагы ордун аныктоого: кайсы сандан кийин 5 келет? (4төн кийин) 8 санынын орду каерде? (7 менен 9дун арасында);

3. 2 коңшулаш сыяктуу эле, 2 коңшулаш эмес сандарды салыштырууга: 5 жана 4, 7 жана 2 сандарын салыштыргыла;

4. Сандын курамы

4 4

4 4

1. Катардагы сандардын удаалаштыгын тескерисинче жаттоо: 5ке чейинки сандарды ата, бош орундарды толукта 6 _ _ 3 _ 1, 5тен мурда келүүчү санды ата;

Катардагы сандын орду анын алынуу жолунан аныкталат: катардагы ар бир кийинки сан мурунку сандан кийин жайгашат. Мындай жайгашуунун тартибин түшүнүү үчүн бала обңектилердин мейкиндикте жайгашуусун тегиздикке «андан кийин» деген түшүнүккө баш ийүүчү которулуу процессин түшүнүү керек. Мында «андан кийин» түшүнүгү «жакынкы оң жак», ал эми «андан мурунку» түшүнүгү «жакынкы сол жак» дегенди түшүндүрөт.

Мурунку сан – катарда берилген сандын сол жагында турат. Саноодо ал түздөн – түз берилген сандан мурда айтылат, саны боюнча берилген сандан бир бирдикке аз болуп саналат.

Кийинки сан – бул катарда берилген сандын оң жагында турат. Саноодо ал түздөн – түз берилген сандан кийин айтылат, саны боюнча берилген сандан бир бирдикке көп болуп саналат.Мисалы беш саны алты санынан мурунку сан болуп эсептелет. Жети саны алты санына кийинки сан болуп саналат. Биринчи класста беш жана жети сандары алты санына карата коңшулаш деп аталышат. Ошентип сегиз санына коңшулаш сандар болуп жети жана тогуз сандары эсептелишет.

Натуралдык сандардын катарынын түзүлүү принцибин жакшы түшүнүү кийин 1ди кошуу жана кемитүү ыкмаларын жеңил өздөштүрүүгө жана төмөнкүдөй эсептөөлөрдү оңой аткарууга түрткү берет:

7+1 17+1 177+1 10277+1

7–1 17–1 177–1 10277–1

4 – класска чейин көпчүлүк учурларда натуралдык сандардын удаалаштык принцибине ылайык жалпы эсептөө ыкмалары орун алат:

• 1 санын кошуу менен кийинки санга ээ болобуз

• 1 санын кемитүү менен мурунку санга ээ болобуз.

Ушул эле ыкма татаал учурлар үчүн да колдонулат:

9+1 19+1 199+1 999+1 99999+1

10–1 20–1 200–1 1000–1 100000–1

Берилген мисалдардын эсептөө тартибине таянуу менен аткаруу ыңгайлуу: 99999 санынан кийин 100000 саны келет, 1000 санынан мурун келүүчү сан 999.

Он ичиндеги сандардын курамы жана нөл саны

«Бир орундуу сандардын курамы» термини баланы он ичиндеги сандар менен тааныштырууда берилген бир орундуу санды сөз менен анын сандык мүнөздөлүшү же башка түрдүү символдордун (сан фигураларынын) мүнөздөлүшү аркылуу белгилеп курамдык бөлүктөр түрүндө туюнтуу жөндөмдүүлүгүн түшүндүрөт:

Сандын сан фигуралары түрүндө курамы:

Беш – бул үч жана эки Беш – бул төрт жана бир

Беш–бул үч жана эки Беш – бул эки жана үч

Сандын курамын үйрөтүүдө цифралык символиканы кийирүүгө шашылбаш керек:

4 3 2 1

5

1 2 3 4

Балага цифралык символиканы эрте берүү менен туура келүүчүлүктүн сан маанисин түшүнбөй туруп, цифралардын түгөйүн механикалык түрдө жаттап алууга туура келет. Андан кийин болсо 10 ичиндеги сандарды кошуу жана кемитүүнүн таблицалык учурларын окуп – үйрөнүүдө бир орундуу сандардын курамын билбей туруп кошулуучулардын орун алмаштыруу законун түшүнбөстүккө алып келет.

Нөл саны натуралдык сан болуп эсептелбейт.

Нөл менен тааныштырууда предметтердин санына таянууга болбойт, анткени нөлдүн предметтик моделин түзүү мүмкүн эмес. Математикада нөл бош көптүктүн символу катары аныкталат. Бош көптүктү белгилөө үчүн 0 цифрасы пайдаланылат. Эсепти тактоого туура келген предметтердин жок болгон же калбай калган ситуациясы нөл саны аркылуу белгиленет.

Түшүндүрүүнү туура формулировкалоо керек:

Биз эсептеген бир да фигура же предмет калган жок. Муну белгилөө үчүн атайын белги 0 (нөл) цифрасы колдонулат.

Ушул эле учурда «эч нерсе жок, демек 0» деп айтуудан алыс болуш керек. Корзинада алма жок (бирок корзина бар!), коробкада кубиктер жок, бутакта жалбырактар жок деп айтылбаш керек. Корзинада алма башка калган жок дегенди белгилөө үчүн 0 цифрасы пайдаланылат.

Сандардын катарында нөлдүн орду боюнча маселе натуралдык катар жөнүндө түшүнүктү туура калыптандыруу үчүн негизги маселелерден болуп саналат.

Баланын көзүнө дайыма көрүнүп тургандай кылып, класстын ичине 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 удаалаштыгын тизип илип коюуга болбойт. Мындан ал мындай катарды жаттап алып, нөл саны – катардын биринчи саны, демек ал натуралдык сан деп түшүнүп алат. Андан кийин ал түшүнүктү оңдоо кыйынчылык туудурат. Мисалы, мугалимге бүтүн ондуктарды жазууда: 10, 20, 30,… нөл санын пайдаланууну негиздөө кыйын болот. Бул жерде нөл саны эсептелип жаткан предметтердин жок экендигин түшүндүрөт деп айтууга болбойт. Мында эки орундуу (көп орундуу) сандардын жазылышындагы нөл санынын ордун түшүндүрүү үчүн ондук эсептөө системасында базалык болуп эсептелген «разряд» түшүнүгүнө кайрылуу зарыл.

Эки орундуу (көп орундуу) сандардын жазылышында нөл саны разряддык орунда «кароолчулук» кызматты аткаргандыгын түшүндүрөт. Себеби көп орундуу санда цифранын орду анын ээлеген позициясынан (жазылыш ордунан) көз – каранды болуп саналат, бир эле цифра ал кайсы орунду ээлегендигинен көз – каранды түрдө түрдүү маанилерге ээ болот. Ондук эсептөө системасынын структурасы мына ушундай, ошондуктан позициялык деп аталат. Сандын жазылышында ар бир позиция разряд деп аталуу менен өзүнүн маанисине ээ. Эки орундуу 10 санынын жазылышында биринчи разрядда маанилүү цифра жок, бирок бул санда берилген позиция же разряд «таасирин тийгизет», эгер берилген санга бирдиктер кошулса, азырынча бош болуп турган разрядга кошулат.

Сандарды салыштыруу түрдүү жолдор менен ишке ашат:

1. эсептөөдө сандын аталуу тартибине таянылат: мурда аталган сан кичине болот (бул натуралдык сандардын көптүгүгүн иреттелүү касиетинен келип чыгат).

2. Топтоо же бириктирүү процессине таянылат:

үч жана бир – бул төрт, демек үч төрттөн кичине

1. Салыштырылуучу сандардын сандык моделине таянылат:

3

3

4

Салыштыруу процессин фиксирлөө үчүн салыштыруу белгиси коюлат. Салыштыруу белгиси – бирөө гана, бирок ал окуп жаткан адамдын каалоосунан көз – каранды түрдө түрдүүчө окулаарын эстен чыгарбоо керек. Европалык жазмалардагы тексттерди окуу традициясына ылайык салыштырууну окуу солдон оңго карай:3 3 деп жазып отурбастан, «төрт үчтөн чоң» деп окуса да болот.

Балага салыштыруунун 2 белгиси бар: «чоң ()» жана «кичине(