Компланарные векторы

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

c

c

a

Любые два вектора компланарны.

2

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

c

k

a

3

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ВВ 1 ,

ОD и ОЕ компланарными?

B 1

D

C

Е

В

О

А

4

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.

Являются ли векторы ОА,

ОВ и ОС компланарными?

B 1

D

C

Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор

ОС не лежит в плоскости ОАВ.

Е

В

О

А

5

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными?

C 1

D 1

A 1

Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 .

Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости.

B 1

D

C

A

B

Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.

6

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными?

Любые два вектора компланарны.

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

A

B

7

№ 1 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

АА 1 , СС 1 , ВВ 1

В 1

С 1

А 1

D 1

В

С

А

D

8

№ 2 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АВ, АD, АА 1

В 1

С 1

А 1

D 1

В

С

А

D

9

№ 3 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

В 1 В, АС, DD 1

В 1

С 1

А 1

D 1

В

С

А

D

10

№ 4 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Компланарны ли векторы?

Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так

как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

АD, CC 1 , А 1 B 1

В 1

С 1

А 1

D 1

АD, CC 1 , А 1 B 1

Векторы

не компланарны

В

С

А

D

11

Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Признак компланарности

c

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

c = xa + yb

a

b

a

b

c

12

С

c = xa + yb

a

В 1

Докажем, что векторы компланарны.

c

b

А 1

В

А

О

Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.

ОА 1 = х ОА

ОВ 1 = у ОВ

Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ.

А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,

равный вектору .

c

13

Справедливо и обратное утверждение.

Признак компланарности

a

c

b

c

Если векторы , и компланарны, а векторы

и не коллинеарны, то вектор можно

разложить по векторам и

, причем

коэффициенты разложения определяются

единственным образом.

Если вектор можно разложить по векторам

и , т.е. представить в виде

где x и y – некоторые числа, то векторы , и

компланарны.

a

b

c

c = xa + yb

a

b

a

b

c

b

a

c = xa + yb

14

Правило параллелепипеда.

OA + OB + OC = OD

из OED

из OAE

= OA + OB + OC =

= (OA + AE) + ED

OE + ED

OD =

= a + b + c

D

В 1

С

c

Е

В

b

a

A

О

15

№ 5 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

АВ + АD + АА 1

= AC 1

D 1

C 1

A 1

B 1

D

С

A

В

16

№ 6 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

DА + DC + DD 1

= DB 1

D 1

C 1

A 1

B 1

D

С

A

В

17

№ 7 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1

D 1

C 1

= DB 1

+ DA

+ DD 1

DC

A 1

B 1

D

С

A

В

18

№ 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

A 1 A + A 1 D 1 + AB

D 1

C 1

+ A 1 B 1

= A 1 C

A 1 A + A 1 D 1

A 1

B 1

D

С

A

В

19

№ 9 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

B 1 A 1 + BB 1 + BC

D 1

C 1

BA +

= BD 1

BB 1 + BC

A 1

B 1

D

С

A

В

20

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде

где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и . Числа , и

называются коэффициентами разложения.

p = xa + yb + zc

z

x

p

y

c

b

a

z

y

x

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

21

По правилу многоугольника

ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р

p

Докажем, что любой вектор можно представить в виде

ОР 2 = x OA

ОР = x OA + y OB + z OC

p = xa + yb + zc

p = xa + yb + zc

Р 2 Р 1 = у OВ

Р 1 Р = z OC

a

P

b

b

c

c

C

p

p

B

P 1

P 2

a

A

O

22

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора

p = xa + yb + zc

p = x 1 a + y 1 b + z 1 c

–

Это равенство выполняется только тогда,

когда

o

o

o

o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c

Если предположить, например, что , то из этого

равенства можно найти

Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,

и

Следовательно, коэффициенты

разложения определяются

единственным образом.

23

№ 9 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 .

ВD 1 = BA + BC + BB 1

По правилу параллелепипеда

D 1

C 1

A 1

B 1

D

С

A

В

24

№ 10 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .

Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 .

По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 :

D 1

C 1

В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1

=

из А 1 В 1 B

A 1

B 1

= (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1

=

= (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1

=

D

С

= A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1

A

В

25