Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Группа: 1-1 ^м-авто^

Преподаватель:

Тема:

По теореме Вейерштрасса непрерывная функция на замкнутом отрезке [a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может достичь на одном из концов отрезка или в середине отрезка. Поэтому задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] решают так

1) Находят производную и, приравняв ее к нулю, находят критические точки первого рода.

2) Вычисляют значение функции во всех критических точках, принадлежащих промежутку [a, b], и значения функции на концах отрезка.

3) Среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее значения.

Замечание. Если внутри промежутка функция имеет только одну критическую точку и достигает в ней максимума, то он будет наибольшим значением, а если достигает в ней минимума, то он будет наименьшим значением.

Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на промежутке [- 2; 1].

Решение. Находим производную  Приравняв производную к нулю, находим критические точки первого рода     

Поскольку точка  не входит в данный промежуток, ее не берем в счет. Вычисляем значение функции:

Итак, наибольшее значение функции y = 10 в точке x =–1, а наименьшее значение y = -10 в точке x = 1.

Определение максимума  Говорят, что функция f (х) имеет в точке  максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

Иначе: функция f (х) имеет максимум при , если

для любых Ах — как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по абсолютной величине.

Определение минимума

Говорят, что функция f (х) имеет в точке  минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Иначе: функция f (х) имеет минимум при х = , если

для любых как положительных, так и отрицательных , достаточно малых по абсолютной величине.

• Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а значение функции в этой точке называется экстремальным.

Для исследования функции на экстремум по первой производной

Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо: 1) определить критическое точки функции; 2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь\; 3) наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке .

Пример2

Найти экстремум функции, а также определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение:

Проведем решение сначала по первому правилу, а потом по второму. Областью существования функции является весь бесконечный интервал .

1. Находим, что  2. Решаем уравнение  т. е. уравнение 

Разлагаем левую часть уравнения на множители:

 откуда  Производная конечна при любом х (говорят в этом случае, что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками будут только найденные из (32,2). 3. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: —1; 0; 3.

Пример3:  а также наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [—5,2].

Решение:

Уравнение  имеет корни: 

Эги корни могут быть легко найдены на основании следствия теоремы Безу, известной из алгебры. Можно также уравнение представить в виде  а тогда его левая часть равна 

Ответ. При х = —4 минимум;  

максимум;  при х = 3 —минимум; ; на отрезке [—5,2]:  т. e. функция достигает наибольшего значения в критической точке х = 2, которая является правым концом отрезка, а наименьшего значения — в критической точке х = —4 внутри рассматриваемого отрезка (в этой точке функция достигает также и минимума).

Задача 32,4

(для самостоятельного решения). Найти сначала по первому правилу, а потом по второму экстремум функции

Исследовать на экстремум функцию  а также найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [—3,1|.

Пример4:Исследовать на экстремум по второму правилу функцию  Начертить эскиз графика функции.

Пример5: