Определение
Призма — многогранник, составленный из двух равных n -угольников, лежащих в параллельных плоскостях и
n параллелограммов
Прямая призма
Правильная призма
C
Боковые грани призмы — параллелограммы
B
D
А
Теорема
Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту
V = S осн. · h
Теорема
Объём прямой призмы равен произведению площади основания
на высоту
C 1
Дано:
Прямая призма
Доказать:
V = S осн. · h
A 1
B 1
D 1
Доказательство:
1) ВС D В 1 С 1 D 1 — прямая призма
h
AC ⏊ BD
С
( CAA 1 ) ⏊ ( BCD )
S 2
V 1 — объём призмы BCAB 1 C 1 A 1
S 3
S 1
V 1 = S BCA · h
B
D
V 2 — объём призмы ACDA 1 C 1 D 1
A
V 2 = S ACD · h
V 1 , V 2 , V 3 … V n–2 — объёмы треугольных призм
V = V 1 + V 2 = S BCA · h + S ACD · h = = h (S BCA + S ACD ) = h · S BCD
V = V 1 + V 2 + V 3
S 1 , S 2 , S 3 … S n–2 — площади оснований треугольных призм
V 1 = S 1 · h,
V 3 = S 3 · h
V 2 = S 2 · h,
2) n -угольная прямая призма
V = S 1 h + S 2 h + S 3 h = h (S 1 + S 2 + S 3 )
S осн. — площадь основания
V = V 1 + V 2 + V 3 + … + V n–2 =
= S 1 · h + S 2 · h + S 3 · h + … + S n–2 · h =
= h · (S 1 + + S 2 + S 3 + … + S n–2 ) = S осн. · h
S осн. = S 1 + S 2 + S 3
h — высота призмы
V = S oc н. h
Теорема доказана
Задача 1
Дано:
Правильная n- угольная призма
а — ребро призмы
а ) n = 3
б) n = 4
в) n = 6
г) n = 8
Найти: V
Решение:
в ) n = 6
г ) n = 8
a) n = 3
б ) n = 4
V = S осн. · h
V = S осн. · h
V = S осн. · h
Задача 2
A 1
C 1
Дано:
АВСА 1 В 1 С 1 —
правильная треугольная призма
B 1
а — сторона призмы
A
(ABC 1 ) — сечение
C
60°
(ABC 1 )^( АВС ) = 60°
a
K
Найти: V
Решение:
B
СК ⏊ АВ
С 1 К ∈ (AC 1 B)
С 1 К ⏊ АВ, ∠С 1 КС = 60°