Общие методы решения уравнений

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели».

Готфрид Лейбниц

01.07.1646 – 14.11.1716 гг.

Методы решения уравнений – это способы, приёмы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

Общие методы решения уравнений – это такие способы, приёмы, с помощью которых можно решить  уравнения разного типа.

Функционально-графический метод

Метод разложения на множители

Общие методы решения уравнений

Метод введения новой переменной

Метод замены уравнения h ( f (х)) = h ( g (х)) уравнением f (х) = g (х)

Если функция h (х) монотонная , то она принимает каждое своё значение только один раз .

Пример 1. Решить уравнение (3х – 7) 5 = (2х + 3) 5 .

Решение.

3х – 7 = 2х + 3 ;

3х – 2х = 3 + 7 ;

х = 10 ;

Ответ: 10 .

Пример 2 . Решить уравнение (8 – 2х) 2 = (х 2 + 5) 2 .

Решение.

Так как функция h (х) = х 2 немонотонная , то применять этот метод нельзя .

0 ⇒ х – 1 ; ОДЗ : х + 3 0 log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ; (х + 1)(х + 3) = 3 ; х 2 + 4х = 0 ; х 1 = 0, х 2 = – 4 ; Ответ: 0 . " width="640"

Пример 3 . Решить уравнение log 3 (х + 1) + log 3 (х +3) = 1 .

Решение.

х + 1 0

⇒ х – 1 ;

ОДЗ :

х + 3 0

log 3 (х + 1)(х + 3) = log 3 3 ;

(х + 1)(х + 3) = 3 ;

х 2 + 4х = 0 ;

х 1 = 0, х 2 = – 4 ;

Ответ: 0 .

— показательного уравнения;

— логарифмического уравнения;

— иррационального уравнения;

Метод разложения на множители

f(x) g(x) h(x) = 0 заменяют совокупностью уравнений f(x) = 0 , g(x) = 0 , h(x) = 0 .

Пример 4. Решить уравнение sin х + sin 2х+ sin 3х = 0 .

Решение.

( sin х + sin 3х) + sin 2х = 0 ;

2 sin 2х cos х + sin 2х = 0 ;

sin 2х (2 cos х + 1) = 0 ;

Метод введения новой переменной

0 ; t 2 – 5 t – 24 = 0 ; " width="640"

Пример 5 . Решить уравнение 4 х – 10 · 2 х-1 = 24 .

Решение.

2 2х – 5 · 2 х – 24 = 0 ;

2 х = t , t 0 ;

t 2 – 5 t – 24 = 0 ;

Решение.

t = log 5 х ;

t 2 – 2 t – 3 = 0 ;

Ответ: 125 ; 0,2 .

Функционально-графический метод решения уравнения f (х) = g (х)

C троят графики функций у = f (х) и у = g (х) .

Затем находят точки пересечения этих графиков, определяют их абсциссы.

Пример 7 . Решить уравнение 2 cos π х = 2х – 1 .

Решение.

у = 2х – 1

4

у = 2 cos π х

2

4

– 2

– 1

– 3

3

2

1

Ответ: х = 0,5 .

– 2

– 4

• Монотонность ;
• ограниченность ;
• чётность ;
• периодичность ;
• если одна из функций возрастает, а другая убывает на определённом промежутке, то уравнение f ( x ) = g ( x ) не может иметь более одного корня который, в принципе, можно найти подбором ;
• если функция f ( x ) ограничена сверху, а функция g ( x ) – снизу так, что f ( x ) мах = А g ( x ) м in = A , то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе уравнений:

f(x) = A

g(x) = A .

Решение.

Ответ: 0.