Общие методы решения уравнений

Общие методы решения уравнений

Эпиграф:

« Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».

Готфрид Лейбниц.

I метод Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) ( применяется в том случае, если функция монотонная )

ПРИМЕР. Решить уравнение

Решение:

X 1 =2, X 2 =4.

Ответ: 2; 4.

0 ; ; X 1 =7 X 2 = - 1; X 3 = - 5 X 4 = 9 Проверка найденных корней. Ответ: 9. (взять корни принадлежащие области определения исходного уравнения) " width="640"

II метод Метод разложения на множители f(x) g(x) h(x) = 0    f(x)=0; g(x)=0; h(x) = 0.

ПРИМЕР. Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: x+2 ≥ 0

x-8 0

;

;

X 1 =7

X 2 = - 1; X 3 = - 5

X 4 = 9

Проверка найденных корней.

Ответ: 9. (взять корни принадлежащие области определения исходного уравнения)

III метод Метод введения новой переменной f(x) = 0 p(g(x)) = 0 p(u) = 0, (где u=g(x)) g(x) = u 1 ; g(x) = u 2 ; … g(x) = u n

ПРИМЕР. Решить уравнение

Решение. Пусть , тогда

u 1 =2 ; u 2 = - 11 .

Проверить корни подставкой. u 1 = 2 – корень ,

u 2 = -11 – посторонний корень.

x 2 – x = 2; x 1 = 2 ; x 2 = -1.

Ответ: 2; -1.

IV метод Функционально-графический метод

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение.

1)

2) А(1;1), В(4;2)

3) х 1 =1 ; х 2 = 4 .

Ответ: 1; 4.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение.

1) Подбором находим корень х = 2 .

2)

- возрастающая функция

3)

- убывающая функция

Ответ: 2.

Значит, х = 2 – единственный корень.