Параллельность плоскостей

Параллельные плоскости.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Плоскости

Пересекаются

Параллельны

α

β

α

β

α || β

α ∩ β

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано: а ∩ b = М; а Є α ; b Є α

а 1 ∩ b 1 = М 1 ; а 1 Є β ; b 1 Є β

a || a 1 ; b || b 1

Доказать: α || β

b

а

М

α

b 1

а 1

М 1

β

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

По признаку параллельности прямой и плоскости а || β и b || β .

Доказательство: (от противного)

Пусть α ∩ β = с

• Тогда а || β , т.к. a || a 1 , а 1 Є β

а Є α ; α ∩ β = с, значит а || с.

• b || β , т.к. b || b 1 , b 1 Є β

b Є α α ∩ β = с, значит b || с.

• Имеем а || b , то есть

через точку М проходят

две прямые а и b ,

параллельные прямой с.

Получили противоречие. Значит, α || β .

b

а

М

с

α

b 1

а 1

М 1

β

Задача № 51.

Дано: т ∩ п = К, т Є α , п Є α ,

т || β , п || β .

Доказать: α || β .

п

т

К

с

α

β

Задача № 51.

Дано: т ∩ п = К, т Є α , п Є α ,

т || β , п || β .

Доказать: α || β .

п

т

К

α ∩ β = с

1) Допустим, что ___________

с

α

п || β , т || β

2) Так как __________________,

то ______________________.

т || с и п || с

β

• Получаем, что

______________________________________________________.

через точку К проходят две прямые параллельные прямой с.

Вывод:

α || β

Задача № 53.

Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2

О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2

А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2

Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2

С 1

А 1

О

В 2

В 1

А 2

С 2

Задача № 53.

Дано: отрезки А 1 А 2 ; В 1 В 2 ; С 1 С 2

О Є А 1 А 2 ; О Є В 1 В 2 ; О Є С 1 С 2

А 1 О = ОА 2 ; В 1 О = ОВ 2 ; С 1 О = ОС 2

Доказать: А 1 В 1 С 1 || А 2 В 2 С 2

С 1

А 1

В 2

О

В 1

А 2

С 2

Задача № 54.

В

N

М

C

Р

А

D

Задача № 54.

В

N

М

C

Р

А

D

Проверка знаний

Да

• Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
• Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
• Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α . Верно ли, что прямая т параллельна плоскости β ?
• Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
• Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?

Нет

Да

Нет

Нет

Домашнее задание:

П.10, Доказательство признака;

№ 55,56