СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 20.05.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых

Категория: Геометрия

Нажмите, чтобы узнать подробности

Цели урока:

  1. Рассмотреть взаимное расположение прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных прямых.
  2. Доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых в пространстве.
  3. Закрепить данные понятия.

Просмотр содержимого документа
«Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых»

Конспект урока.


Предмет: геометрия

Класс: 10а

УМК: Геометрия. 10-11 классы: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд.,стер. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил. – (МГУ – школе).

Тема урока: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых

Цели урока:

  1. Рассмотреть взаимное расположение прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных прямых.

  2. Доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых в пространстве.

  3. Закрепить данные понятия.


Тип урока: изучение нового материала

План урока:

  1. Организационный момент

  2. Актуализация опорных знаний

  3. Изучение нового материала

  4. Первичное закрепление.

  5. Домашнее задание.

  6. Итог. Рефлексия.


Необходимое оборудование: тестовые задания, карточки для рефлексии.


Ход урока

1. Организационный момент.

Проверка д/з. Сообщение темы и цели урока (учитель объявляет тему урока, ставлю цель урока, отмечаю отсутствующих, учащиеся записывают в тетрадь число и тему урока).


Сообщение из истории параллельных прямых и их применения (учитель говорит вступительное слово к теме урока).


Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), создавшего замечательное руководство по математике под названием «Начала». В этой книге есть раздел о параллельных прямых. В советском энциклопедическом словаре слово « параллельность» переводится с греческого языка как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.

В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.


2. Актуализация опорных знаний.


Учащимся задаются вопросы.

1) Определение параллельных прямых (две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются);

2) Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости (2 прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны);

3) Как через точку А, заданную вне данной прямой а, провести прямую, параллельную а?

4) Сколько таких параллельных (к прямой а через точку А) можно провести? Почему? (только одну, по аксиоме о параллельных прямых);

5) Аксиома параллельных (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).

3. Изучение нового материала

1) Каково расположение 2-х прямых на плоскости (рис. 1 а, б, в) (учащиеся работают устно: 2 прямые могут совпадать, пересекаться или быть параллельны).

 

 

2) Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости или прямые не лежат в одной плоскости. Сегодня мы рассмотрим прямые, которые лежат в одной плоскости, их называют параллельными прямыми.

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (учащиеся записывают определение в тетрадь)

3) Докажем теорему о параллельных прямых (учащиеся читают теорему, учитель спрашивает, что дано и что будем доказывать; учитель работает с доской, изображает рисунок и записывает доказательство; учащиеся фиксируют в тетради формулировку теоремы, рисунок и доказательство теоремы)

Теорема: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано:, А, А ∈ а.

Доказать: а || b, b – единственная. 

Доказательство:







Откроем учебники на странице 10 и обратимся к рисунку 12. В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых (CD || EF), аналогично определяются параллельность отрезка и прямой (AB||a, параллельность двух лучей (CD || EF).

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем (учащиеся читают лемму, учитель спрашивает, что дано и что будем доказывать; учитель работает с доской, изображает рисунок и записывает доказательство; учащиеся фиксируют в тетради формулировку леммы, рисунок и доказательство леммы).

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b, α, а ∩ α = А.

Доказать: b ∩ α.

Доказательство:













4) Из планиметрии известно: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для 3-х прямых в пространстве.

Теорема: Если 2 прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: а || с; b || с (рис. 4).

Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

 

 

Доказательство:













4. Первичное закрепление.

Посмотрим, насколько вы усвоили новый материал. Открываем учебник на странице 31, читаем вопросы №1,№2,№3(учащиеся читают вопросы, учитель спрашивает кого-нибудь из учащихся).

№1. Верно ли утверждение: если 2 прямые не имеют общих точек, то они параллельны?(да, верно)

№2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? (одна, как на плоскости, так и в пространстве) Сколько из этих прямых параллельны а? (одна)

№3. Прямые а и с параллельны, а прямые a и b пересекаются. Могут ли прямые b и c параллельными? (нет, по Т2 : 2 прямые параллельны третьей прямой, параллельны)

5. Домашнее задание

Записываем домашнее задание. Пункт 4, 5, теоремы, задача №16 стр.13 (учитель диктует домашнее задание, учащиеся записывают в дневник).

Задача № 16

Дано:   (рис. 6).

Доказать: с ⊂ α.

 

 

Доказательство: По условию а ∩ с = А; b ∩ с = В, значит А ∈ α и В ∈ α, так как а ⊂ α иb ⊂ α, по А2 с ⊂ α, что и требовалось доказать.




Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!