Показательная функция, ее свойства и график

Конспект урока

Учебник: Мордкович. 11 класс. В 2 ч. Ч 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2010 – 224 с. Глава 3. §11.

Тема урока: Показательная функция, её свойства и график.

Тип урока: урок освоения теории

Учебная задача урока: провести усвоение теоретического материала по теме «Показательная функция её свойства и график»

Диагностируемые цели урока:

1. Знает:

• Определение степени с иррациональным показателем;

• Определение степени с действительным показателем

• Определение предела

• понятие показательной функции, её свойства и вид графика;

• Формулировки теорем о показательных равенствах и неравенствах

2.Умеет:

• Находить значения выражений, используя свойства степеней

• строить график показательной функции;

• перечислять свойства показательной функции;

• решать простейшие показательные уравнения и неравенства;

3.Понимает:

• что степени с любыми действительными показателями обладают всем привычными свойствами степеней

• что вид графика показательной функции зависит от её основания;

• что решение простейших показательных уравнений и неравенств основано на теоремах о показательных равенствах и неравенствах

Планируемые результаты (УУД):

• Личностные: умение учащегося устанавливать связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, т.е. между результатом учения, и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким образом должна осуществляться осмысленная организация собственной деятельности ученика.

• Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно, планирование – определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата, оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, т.е. определение цели сотрудничества, функций учеников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка, умение доказывать собственное мнение.

• Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование; построение логической цепи рассуждений, доказательство; подведение под понятие; выведение следствий; установление причинно-следственных связей.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1) Мотивационно–ориентировочная часть (10 минут).

2) Операционно-познавательная часть (20 минут).

3) Рефлексивно-оценочная часть (15 минут).

Предваряющее домашнее задание:

Построить график функции и перечислить её свойства: а) 𝑦= б) 𝑦=

Ход урока

Мотивационно–ориентировочная часть.

Актуализация

Задание 1. Какие из представленных функций являются показательными?

А)

Б)

В)

Г)

Ответ: Б, Г

-Сформулируйте определение показательной функции.

-Функцию вида y= , где называют показательной функцией

Проверка домашнего задания

Построить график функции и перечислить её свойства: а) 𝑦= б) 𝑦=

Решение:

а) 𝑦=

Свойства:

1. D(f)=(-∞; +∞);

2. Не является ни четной и ни нечетной;

3. Убывает;

4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна;

7. E(f)=(0; +∞);

8. Выпукла вниз.

б) 𝑦=

Свойства:

1. D(f)=(-∞; +∞);

2. Не является ни четной и ни нечетной;

3. Возрастает;

4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;

5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна;

7. E(f)=(0; +∞);

8. Выпукла вниз.

Мотивация

На прошлом уроке вы изучили понятие иррациональной и действительной степени и ее свойства, определение показательной функции, её свойства и вид графика, теоремы о показательных равенствах и неравенствах . В конце данного урока будет проведена самостоятельная работа по проверке изученной вами материала.

Постановка учебной задачи:

Провести усвоение теоретического материал по теме «Показательная функция, ее свойства и график»

Операционно-познавательная часть

1. Найдите значение выражения:

А)

Б)

в)

Г)

Д)

Решение:

А)

Б)

в) =

Г)

Д)

1. Схематично изобразите график функции:

а)

б)

Решение:

а)

б)

1. Постройте график функции и найдите:

а) её значение при х= 0,5; х=3,5;

б) при каком х у= 2; у= 0,4.

Решение:

а)

1. при х= 0,5,

2. при х=2,

б)

1) при у= 2,

2) при y=0,4.

1. Постройте график функции и найдите:

а) её значение при х= 0,5; х=-0,6;

б) при каком х у= 0,5; у= 3.

Решение:

а)

1) при х= 0,5

2) при х=1, y=4

б)

1) при у= 0,5

2) при у= 3

5. Сравните значения и , если:

а) ,

б) ,

Решение:

а) Т.к. и 31, функция возрастает, то

б) Т.к. и 31, функция возрастает, то

6. Сравните значения и , если:

а) х₁=0,2 , х₂= ;

б) x₁=-4,1; х₂=-5.

Решение:

а) Т.к. , функция убывает, то

б) Т.к. , функция убывает, то

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

А) ;

Б) .

Решение:

А) ;

Т.к. 21, то функция возрастает на всей области определения

y_наим=y(2)=2¹=2; y_наиб=y(4)=2⁴=16.

Б)

Т.к. , то функция убывает на всей области определения

y_наим=y(-2)= ; y_наиб= y(-4)=

9.Решите уравнение (неравенство):

А) ;

Б)

В) ;

Г) .

Решение:

А) ;

;

;

Ответ: .

Б) ;

;

.

Ответ: .

В) ;

;

.

Ответ: .

Г) ;

;

Ответ:

Рефлексивно-оценочная часть

Домашнее задание:

№11.2 (а, б), №11.3 (в, б), №11.5 (а, б), №11.13 (в, г), №11.20 (б, г), №11.23 (а), №11.33 (в, г), №11.59 (б, в), №11.67(б, в)

Решение домашнего задания.

№11.2 (а, б)

А)

Б)

Решение:

А)

Б)

№11.3 (в, б)

в)

Г)

Решение:

в) =

Г)

№11.5 (а, б)

А)

Б)

Решение:

А)

Б)

№11.13 (в, г). Схематично изобразите график показательной функции:

В) ;

Г)

№11.20. Сравните значения и , если:

б)

г)

Решение:

б) Т.к. и , функция убывает, то

г) Т.к. и , функция убывает, то

№11.23. Расположите числа в порядке возрастания:

А) .

Решение:

А)Т.к. , 21, функция - возрастает, то

Ответ: , 1, ,

№11.33 (в, г). Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

в)

Т.к. 0 , то функция убывает на всей области определения

y_наим=y(4)= ; y_наиб= y(0)= .

г)

Т.к. , то функция возрастает на всех области определения

y_наим=y(-4)= ; y_наиб= y(2)= .

№11.59(б, г)

Б) ;

;

3х = 3

;

Ответ: .

В) ;

;

2х = -3

.

Ответ: .

№11.67(б,в)

Б) ;

;

.

Ответ: .

В) ;

;

Ответ:

Самостоятельная работа

Решения:

Вариант № 1. 1.D(f): x (-∞;+∞). 2. Е(f): (0;+∞). 3. Не является ни четной, ни нечетной 4. Возрастает 5. Ограничена снизу, не ограничена сверху. 6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 7. Непрерывна 8. Выпукла вниз № 2 Теорема 3. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда . Теорема 4. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство справедливо тогда и только тогда, когда . № 3

Вариант № 1. 1.D(f): x (-∞;+∞). 2. Е(f): (0;+∞). 3. Не является ни четной, ни нечетной 4. Убывает 5. Ограничена снизу, не ограничена сверху. 6. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 7. Непрерывна 8. Выпукла вниз № 2 Теорема 1. Если , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда . Теорема 2. Если , то неравенство справедливо тогда и только тогда, когда , неравенство справедливо тогда и только тогда, когда . № 3