Показательная функция, её свойства и график.

Показательная функция, её свойства и график.

При изучении степенной функции мы говорили, что аргументом у этой функции является основание степени. А что происходит, когда аргументом будет показатель степени? В этом случае рассматривается уже другая функция – показательная.

Показательной называется функция вида , где – некоторое число, причём .

Поясним условия выбора основания степени. Аргумент этой функции является произвольным вещественным числом, которое может равняться, например, или . Значит, число, которое мы возводим в эту степень должно быть неотрицательным (по определению степени с рациональным показателем). Если , то , а это есть линейная функция и графиком её является ось абсцисс. Если , то , а это тоже линейная функция и графиком её является прямая, проходящая через точку , параллельная оси абсцисс. Значит, показательная функция рассматривается только для значений .

Свойства и график показательной функции зависят от значений . Мы знаем, что возводя число, меньшее 1 (но большее нуля), в какую-либо степень, само число уменьшается. А если возводим число, большее 1, в какую-либо степень, само число увеличивается. Поэтому, рассматривая показательную функцию, всегда делают акцент на основание .

Свойства показательной функции.

1. Область определения – множество всех действительных чисел:

2. Область значений – множество всех положительных чисел: .

3. . Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной и график этой функции не обладает симметричностью ни относительно Оу, ни относительно начала координат.

4. Функция возрастает на всей области определения, если

функция убывает на всей области определения, если .

1. Функция непрерывна на всей области определения.

2. Асимптотой функции является ось абсцисс.

График показательной функции не имеет собственного названия. Он проходит через точку при любом допустимом значении , не пересекает ось Ох и возрастает, если , убывает, если .

Как и ко всем, ранее изученным, к графику показательной функции можно применять геометрические преобразования, т.е. растяжение, сжатие, смещение вдоль осей Оу и Ох.

На рисунке изображён схематический график показательной функции.

Приведём примеры показательных функций.

1. – показательная функция, график её располагается выше оси Ох, проходит через точку , возрастает, т.к. . Возьмём несколько дополнительных точек: .

1. – показательная функция, график её располагается выше оси Ох, проходит через точку , убывает, т.к. . Возьмём несколько дополнительных точек: .
   

1. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

2. Найти значение показательной функции при заданных значениях аргумента:

1. Найти значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение:

2. Найти значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение:

3. В одной системе координат построить графики функций:

4. Определить, какое из чисел больше, если:

5. Сравнить значения , если:

6. Сравнить значения , если:

7. Сравнить значения , если:

8. Определить, какое из чисел больше, если:

1. Построить графики функций и опишите их свойства:

2. Найти область определения функции:

3. Найти область значений функции:

4. Найти область определения и область значений функции:

5. Найти область значений функции на заданном отрезке:

6. Исследовать функцию на чётность:

7. Исследовать на монотонность функцию:

8. Даны функции . Исследуйте на монотонность функции

9. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на указанном промежутке:

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

11. На каком отрезке функция принимает:

1. наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное ;

2. наибольшее значение, равное , и наименьшее, равное

1. На каком отрезке функция принимает:

1. наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное ;

2. наибольшее значение, равное , и наименьшее, равное

1. Доказать, что для функции выполняются равенства:

2. Доказать, что для функции выполняются равенства:

3. Дана функция .

1. Вычислить

2. Построить график данной функции.

1. Дана функция .

1. Вычислить

2. Построить график данной функции.

1. Дана функция .

1. Вычислить

2. Построить график данной функции.

1. Найти наименьшее значение функции при .

2. Определить, при каких значениях параметра функция является нечётной.

3. Определить, при каких значениях функции и являются чётными.

4. При каком значении графики функций и имеют единственную общую точку?

5. При каком значении графики функций и имеют единственную общую точку?

6. Используя свойства показательной функции, определить знак выражения:

7. Построить график функции и, с его помощью, исследовать функцию (найти её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной, чётной (нечётной, общего вида); определить её наибольшее и наименьшее значение):

8. Построить график функции и с его помощью определить число корней уравнения при указанных значениях параметра :

1. Указать, какие из заданных функций ограничены снизу:

2. Указать, какие из заданных функций не ограничены сверху:

3. Доказать, что функция ограничена:

4. Сравнить числа и , если:

5. Расположить в порядке возрастания числа:

6. Установить, какие значения может принимать параметр , чтобы выполнялось неравенство:

4