Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра

О, если б вы понимали, Что сын ваш в России Самый лучший поэт!

Вы ль за жизнь его сердцем не индевели, Когда босые ноги он в лужах осенних макал? А теперь он ходит в цилиндре И лакированных башмаках .

С. Есенин

Тема урока

Цилиндр

Цилиндр в архитектуре

«Уолл Билдинг» в Хиро

Цилиндр в архитектуре

"Башня ветров" в Иокогаме

Цилиндр в архитектуре

Английский замок в Сандерленде украшает необычный фонтан, который создал архитектор Уильям Пай. Фонтан представляет собой прозрачный цилиндр с воронкой водоворота по середине.

Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в этой плоскости.

Через каждую точку окружности  проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется  цилиндрической поверхностью , а сами прямые —  образующими цилиндрической поверхности .

Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости α, называется  осью цилиндрической поверхности.  

Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу.

Рассмотрим теперь плоскость β, параллельную плоскости α.

Отрезки образующих, заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу.

По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L.

Концы же, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L 1  с центром О 1  радиуса r, где О 1  — точка пересечения плоскости β  с осью цилиндрической поверхности.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L 1  называется  цилиндром.

Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности — боковой поверхностью цилиндра.

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу.

Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания — вращением сторон ВС и АD.

Поэтому цилиндр называют  телом вращения.

Развертка цилиндра

S = 2πrh

S = 2πrh+2

Задача.

Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задача

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

АВСD – осевое сечение

Решение задач

Задача

Дано: Площадь боковой поверхности цилиндра равна Q.

Найти: площадь осевого сечения цилиндра.

Решение задач

Задача

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите высоту цилиндра.

Сечения цилиндра

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость - плоскость α на рисунке отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Наклонный цилиндр

Наклонный цилиндр  - цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований.

Цилиндр в архитектуре

Знаменитая Пизанская башня

Решение задач

Задача 2. 

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?(π≈3)

Домашнее задание:

пп.60, 61

№ 522,523,525