Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение и произведение тригонометрических функций в суммы.

Ещё одним полезным следствием формул сложения (наряду с формулами двойного угла) служат формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения и обратно — произведений в суммы.

Начнём с формул синуса суммы и разности:

Отсюда:

Мы получили формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов (эта сумма в реальности может оказаться разностью). Примеры:

;

.

Промежуточное равенство (3) приводит нас к ещё двум важным формулам. Сделаем замену переменных:

( x = α + β,

(4)

y = α − β.

Складывая и вычитая эти равенства, выразим из них α и β:

; .

Подставляя всё это в (3), получим:

(5)

Это формула преобразования суммы синусов в произведение. Запоминаем словесную формулировку: сумма синусов есть два синус полусуммы на косинус полуразности.

Делая в (5) замену y на −y, придём к формуле преобразования разности синусов в произведение:

Словами: разность синусов есть два синус полуразности на косинус полусуммы.

Теперь проделаем те же самые операции, но начнём с формул косинуса суммы и разности:

Отсюда:

Это формула преобразования произведения косинусов в сумму косинусов.

С помощью замены (4) приходим к формуле преобразования суммы косинусов в произведение косинусов:

Словами: сумма косинусов есть два косинус полусуммы на косинус полуразности. Теперь вычтем из равенства (7) равенство (6):

cos(α − β) − cos(α + β) = 2sinαsinβ. (9)

Отсюда:

Это формула преобразования произведения синусов в разность косинусов.

Делаем в равенстве (9) замену (4) и приходим к формуле преобразования разности косинусов в произведение синусов:

.

В целях единообразия записи поменяем местами x и y в последней формуле:

Словами: разность косинусов есть два синус полусуммы на синус обратной полуразности.

в) ; г) .

в) ; г) .

1. Преобразуйте в произведение:

а) sin3α − sin7α; б) cos4α + cos10α;

в) ; г)

1. Преобразуйте в произведение:

а) sin10^◦ + cos70^◦; б) cos50^◦ − sin14^◦;

в) cos40^◦ + sin40^◦; г) sin20^◦ − cos20^◦.

1. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) ; г)

1. Докажите тождество:

а) ;

б) ;

в) cos2α − cos4α − cos6α + cos8α = −4cos5αsin2αsinα.

1. Докажите тождество:

а) sinα + 2sin3α + sin5α = 4sin3αcos² α; б) sin² 5α − sin² 3α = sin8αsin2α.

1. Докажите тождество:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е)

1. Докажите равенство:

а) sin87^◦ − sin59^◦ − sin93^◦ + sin61^◦ = sin1^◦;

б) cos115^◦ − cos35^◦ + cos65^◦ + cos25^◦ = sin5^◦.

1. Докажите тождество:

tgα + tg2α − tg3α = −tgαtg2αtg3α.

1. Докажите тождество:

а) tgα + 2ctg2α = ctgα;

б) tgα + 2tg2α + 4ctg4α = ctgα;

в) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8ctg8α = ctgα;

г) tgα + 2tg2α + 4tg4α + 8tg8α + 16ctg16α = ctgα.

1. Докажите тождество:

1. Преобразуйте в сумму или разность:

а) 2sin10^◦ cos5^◦; б) 2sin25^◦ cos55^◦;

в) ; г) .

1. Преобразуйте в сумму или разность:

а) sin2αcos5α; б) cosβ cos3β;

в) sin6γ cosγ; г) sin3ϕsin11ϕ.

1. Проверьте равенство:

а) sin2xcos3x + sin4xcos9x = sin6xcos7x;

б) sin3xsinx + sin4xsin8x = sin7xsin5x;

в) cos3xcos6x − cos4xcos7x = sin10xsinx;

г) sin4xcosx − sin5xcos2x = −sinxcos6x.

2