Презентация "Конус"

Р

• Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую.

• Поверхность образованная этими прямыми , называется конической поверхностью ,а прямые – образующими конической поверхности.

• Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР перпендикулярную к плоскости ß этой окружности.

L

O

ß

Р

• Точка Р называется вершиной
• а прямая ОР – осью конической поверхности.

L

O

ß

Р

тело ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом.

L

O

ß

Р

• Круг называется основанием конуса.
• Вершина конической поверхности – вершиной конуса.

• Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, -образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

L

O

ß

Р

• Ось конической поверхности называется осью конуса , а её отрезок. заключённый между вершиной и основанием, -высотой конуса.

L

O

ß

• Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.

Например, данный конус был получен вращением прямо-угольного треугольника ABC вокруг катета АВ.

• Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса ,а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым .

Р

• Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром , расположенным на оси конуса.

• Радиус r ΄ этого круга равен РО ΄ /РО • r , где r – радиус основания конуса .

r ΄

О ΄

α

r

О

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

• Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

• Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса (РА= r ), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Р

А ΄

Р

S= π rl

А

В

В

А

• Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула

S= π r(l+r)

Р

• Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части.

• Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом .Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок , соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса.

О ΄

О

Р

• Часть конической поверхности , ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу

О ΄

В

О

А

• Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям

С

B

D

А

• Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

S= π (r+r ΄ )l ,где r и r ΄ -радиусы оснований, l - образующая усечённого конуса.

С

r ΄

B

D

r

А

ЗАДАЧА 1

• Дано: конус; R=3, l =5.
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• S БПК = π *3*5=15 π ;
• S осн = π *3 2 =9 π ;
• S ппк =15 π +9 π =24 π .

• К

• 5

• О

• 3

• В

• О

• А

ЗАДАЧА 2.

• К

• По данным чертежа (ОВ=5, КО=12) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса:

• 12

• 5

• В

• А

• О

ЗАДАЧА 2.

• К

• Дано: конус; R= 5 , h =12.
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• l 2 = 144+25=169 , l= 13 ;
• S БПК = π *13*5= 6 5 π ;
• S осн = π *5 2 =25 π ;
• S ппк = 6 5 π +25 π ; S ппк = 9 0 π .

• 12

• 5

• В

• А

• О

ЗАДАЧА 3.

• По данным чертежа (ОВ= 6 , ∟АКО=30 о ) вычислите площадь боковой и площадь полной поверхности конуса:

• К

• о
• 30

• 6

• В

• А

• О

ЗАДАЧА 3.

• Дано: конус; R=6,∟ АКО=30 о .
• Найти: S БПК , S ппк .
• Решение.
• l = R / sin 30 о ,l=6 / 0.5= 12 ;
• S БПК = π * 12 *6= 72 π ;
• S осн = π *6 2 =36 π ;
• S ппк = 72 π +36 π ; S ппк = 108 π .

• К

• о
• 30

• 6

• В

• А

• О