Прямоугольные треугольники
Цели урока:
- Обучающие — обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «треугольники»; совершенствовать навыки решения задач по данной теме; введение понятий, связанных с прямоугольным треугольником и доказательство основных свойств прямоугольного треугольника.
- Развивающие — развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умения работать в группах); развивать логическое мышление; устную речь.
- Воспитательные — прививать культуру совместного умственного труда, уважительного отношения друг к другу.
Тему треугольников в курсе геометрии мы с вами уже затрагивали.
Треугольники в зависимости от углов бывают
Сегодня нас интересует последняя стрелочка!
Остроугольными
(когда все углы меньше 90°, то есть острые)
Тупоугольными
(когда один из углов больше 90°,то есть тупой)
Прямоугольными
(когда один из углов равен 90°, то есть прямой)
А
Стороны образующие прямой угол называются катетами. Здесь АС и ВС – катеты.
Сторона лежащая на против прямого угла называется гипотенузой . Здесь это АВ.
Гипотенуза самая большая сторона треугольника, так как лежит на против большего угла треугольника. Самый известный прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским.
В
С
В
С
Итак, треугольник один из углов которого равен 90° называется прямоугольным.
Прямоугольные треугольники в зависимости от сторон бывают
Произвольными
(все стороны разной длины)
Равнобедренными
(есть две стороны одинаковой длины)
Равносторонние
Таких нет
Прямоугольные треугольники, также как и остальные подчиняются большинству теорем, например сумма внутренних углов равна 180°, внешние углы обладают теме же свойствами, также работает и неравенство треугольника и т.п.
Давайте вспомним эти свойства на примере нескольких задач.
Задача 1. Попробуйте решить сами!
Найти:∟В
А
34°
В
С
Решение:
Дано:
АВС
∟ А=34, ∟С=90
А
Найти: ∟В
решение:
34°
- По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180
Подставляем значение углов А и С в это выражение получаем:
34+ ∟В+90=180
∟ В+(34+90)=180
∟ В + 124=180
∟ В= 180-124
∟ В= 56
Ответ: 56.
С
В
Задача 2: Попробуйте решить сами!
А
Найти: ∟А, ∟В
С
В
В
С
Решение:
А
Дано:
АВС
АС=ВС, ∟С=90
Найти: ∟А, ∟В
решение:
- Так как треугольник равнобедренный, следовательно в нем два равных угла в данном случае ∟А=∟В=х
- По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180
х+ х+90=180
1х+1х+90=180
2х+90=180
2х= 180-90
2х= 90
Х=90:2
Х=45- а это и есть наши искомые углы
Ответ: 45.
В
С
В
С
Помимо основных свойств, которыми обладают все треугольники, прямоугольный обладает своими собственными, именно с ними мы сегодня поработаем.
Свойство 1
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
А
Дано:
АВС
∟ С=90
Доказать: ∟А+∟В=90
По теореме о сумме внутренних углов треугольника: ∟А+ ∟В+ ∟С=180
- ∟ А+∟В+90=180
- ∟ А+∟В= 180-90
- ∟ А+∟В=90
С
В
Свойство 2
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
А
Доказать: ВС= АВ
30°
В
С
60°
А
Дополнительное построение: 1.На продолжении стороны ВС от точки С отложим отрезок равный ВС и поставим точку Д.
2. Соединим точку А и точку Д. Получили треугольник равный данному.
3. Так как мы получили равные треугольники, то ∟Д= ∟В, значит треугольник АВД- равнобедренный. Но получается сторона АС в треугольнике АВД является высотой, так как пересекает сторону под прямым углом.
А высота опущенная на основание равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой.
30°
60°
В
С
Д
4.Т.к. АС – медиана, значит ВС=СД то есть ВС= ВД.
5. ∟А состоит из двух частей, т.к. АС- биссектриса, значит он состоит из двух одинаковых частей, следовательно ∟А=2·30=60, а это значит что все углы по 60°, значит треугольник АВД- равносторонний, то есть
АВ=ВД =ДА, значит ВС= АВ.
Свойство 3
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30°.
Данное свойство является обратным свойству 2, поэтому доказывать его мы не будем.
Данные свойства можно найти в учебнике на стр.75-76.
Итоги: Мы вспомнили что такое прямоугольный треугольник, его разновидности и познакомились с его свойствами.
Домашнее задание: стр. 75-76, конспект, свойства выучить, 2 задачи.
А
А
50°
?
?
С
В
С
В
47°