Проблемные технологии

Сегодня урок математики должен стать для ученика не только занятием по решению математических примеров и задач, но и позволить ему освоить способы успешного существования в современном обществе, т. е. уметь ставить себе конкретную цель, планировать свою жизнь, прогнозировать возможные ситуации.

Одной из самых продуктивных образовательных технологий, которые успешно может использовать в своей работе учитель математики, является технология проблемного обучения.

Проблемные ситуации можно разделить на 2 типа:

1. «с удивлением»: ученики сталкиваются с противоречиями между двумя или более положениями либо между житейским представлением учащихся и научным фактом. У учеников появляется удивление сопровождающееся фразами «Надо же!», «Вот это да!» Удивление и говорит о возникновении проблемной ситуации.

2. «с затруднением»: ученики не могут выполнить задание, так как оно не похоже на все предыдущие, они не знают как это делать. А это означает возникновение проблемной ситуации.

Методические рекомендации к разработке и проведению урока с применением проблемного обучения

1. Назначение проблемного урока: приобретение знаний и умений, активизация и развитие мыслительных действий (анализ, синтез, аналогии), развитие креативности (творческого начала), выход на проектную, исследовательскую деятельность.

2. Проблемный урок обязательно базируется на проблемной ситуации.

3. Методы решения проблемы: исследовательский, поисковый, эвристический, проектирование.

4. Средства решения проблемы: эксперимент, работа с источниками информации, наблюдение, моделирование.

5. Формы урока: беседа, лекция, экскурсия, эксперимент, работа в группах.

6. Этапы урока:

- мотивация, создание проблемной ситуации;

- выдвижение гипотез и их запись на доске;

- исследование;

- обмен информацией при работе в группах, представление работы;

-обработка информации (выделение значимой информации, подтверждение или опровержение высказанных ранее гипотез);

- подведение итогов урока, рассмотрение иных вариантов решения проблемы, рефлексия;

- домашнее задание.

Урок № 6. Тема: «Построение треугольника по трем элементам» (7 класс)

В начале урока учитель объясняет способы построения треугольников по трем элементам:

1. По двум сторонам и углу между ними;

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам;

3. По трем сторонам.

Затем учащимся предлагается ответить на вопрос: «Всегда ли можно построить треугольник по указанным трем элементам?»

Чаще всего учащиеся, опираясь на описанный учителем ход построения, дают положительный ответ. Хотя это верно только при построении треугольника в первых двух случаях.

Тогда целесообразно предложить им построить треугольник по трем сторонам с заведомо невозможными длинами сторон. Тем самым учитель создает проблемную ситуацию с удивление и затруднением (между необходимость и невозможностью выполнить задание).

Затем учитель ведет побуждающий диалог от проблемной ситуации:

• Побуждение к осознанию противоречия:

«Вы смогли выполнить задание? В чем затруднение?» - «Нет. Окружности не пересекаются»

• Побуждение к формулированию учебной проблемы:

«Какой возникает вопрос?» - «Почему они не пересекаются? А когда пересекутся?»

Далее переходит к побуждающему к выдвижению и проверке гипотез диалогу:

• Побуждение к выдвижению гипотез: «Какие есть гипотезы?» - «Дело в длинах сторон. Одна сторона много больше двух других (равна двум другим)».

• Побуждение к устной проверке гипотезы: «Согласны с этой гипотезой? Почему?» - «Потому что для любого треугольника верно свойство: длина большей стороны меньше суммы длин двух других сторон».

Если учащиеся не выдвигают никаких гипотез, тогда учитель дает подсказку к решающей гипотезе: «Сравните сумму длин двух меньших сторон и длину большей стороны».

Заканчивая обсуждение, учитель повторно задает вопрос: «В каком случае возможно построение треугольника по трем сторонам?» - «Когда длина большей стороны меньше суммы длин двух других сторон».

В заключении учитель сообщает, что это свойство известно в математике, как «неравенство треугольника», а подробнее об этом мы поговорим на следующем уроке.

Отметим, что при подготовке проблемного урока учитель должен использовать достаточно строгие алгоритмы, поэтому на этом этапе работы возникает необходимость составления так называемых «технологических карт», которые позволяют четко прописать последовательность действий, как учителя, так и учащихся, а также составить визуальный ряд урока.

Урок геометрии в 7 классе «Неравенство треугольника»

Теорема о неравенстве треугольника вводится при изучении темы «Построение треугольника по трем сторонам». Предлагаю ребятам построить с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами:

а) 5см, 6см, 7 см; б) 2см, 3см, 5см; в) 3см, 4см, 8 см.

Ребята приходят к выводу, что в последних двух случаях построить треугольник нельзя. Возникает проблема: «При каких условиях существует треугольник?» Полученный первый чертеж дает возможность сделать вывод: «Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон».

1. 6 класс, тема урока «Сравнение положительных и отрицательных чисел».

(Создание проблемной ситуации через умышленно допущенные учителем ошибки).

На доске записаны неравенства: 1меньше -5, -6 больше3, -6 меньше -7. Учитель даёт задание ученикам: проверьте справедливость данных неравенств. Как это сделать? Как сравнить положительное число с отрицательным, отрицательное с отрицательным? (Проблемная ситуация, проблемный вопрос, который является целью урока). Сильные ученики догадаются привлечь координатную прямую для решения проблемы, все работают с координатной прямой (работа в паре), выходят на правило сравнения.

Типология проблемных задач может быть следующей:

1. Задачи с несформулированным вопросом.

Пример. Шоколад стоит 45 руб., коробка конфет 90 руб. Задайте все возможные вопросы по условию данной задачи.

2. Задачи с недостающими данными.

Пример.  Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода равна 6 км/ч, а скорость другого – на 1 км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?

Учащимся задаются вопросы:

Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?

Чего не хватает?

Что нужно добавить?

Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?

А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?

Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?

3.  Задачи с излишними данными.

Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В магазин привезли 20 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.

4. Задачи с несколькими решениями.

Пример. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими способами. Какой из них наиболее простой.

5.  Задачи с меняющимся содержанием.

Пример.  Исходная задача. Туристы прошли за день 20 км, что составило 40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Второй вариант. Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти 60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

6.  Задачи на доказательство.

7. Задачи на соображение, логическое рассуждение.

Создание проблемных ситуаций

Проблемная задача №1.

Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.

Проблемная задача №2.

Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?  

Проблема: несоответствие  единиц измерения.

Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о единицах измерения объемов.

Создание проблемных ситуаций через выполнение практических заданий

Изучение темы “Площадь треугольника” (геометрия 8 класс)

Задача: «Три маляра должны покрасить фронтон дома в форме прямоугольного треугольника со сторонами 3м и 4 м. Хватит ли им 1 банки краски, если на ней написано: площадь покрытия 10г/кв.м.?»

Переведем задачу на математический язык:

«Найдите площадь S прямоугольного треугольника, если один из катетов 3 м, а другой – 4 м». Отдельные ученики догадались - зная формулу площади прямоугольника, смогут решить эту задачу.

Первая проблемная ситуация.

«Как вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная формулу для нахождения площади прямоугольника?»

Дети предлагают: достроить данный треугольник до прямоугольника (если прямоугольный треугольник достроим до прямоугольника, то мы получим два равных треугольника, которые равны по двум катетам).

Вычисляют площадь прямоугольника, а затем находят площадь прямоугольного треугольника.

Вторая проблемная ситуация: всегда ли можем использовать получившуюся формулу, если треугольники бывают разной формы?

Задача: «Найти площадь любого треугольника».

При помощи наводящих вопросов ученики находят способ. Они предлагают достроить треугольник до параллелограмма.

• Доказываем, что полученные 2 треугольника равны по 3-му признаку равенства треугольников.

• Вспоминаем формулу площади параллелограмма;

• Выводим формулу площади любого треугольника ;

• Отвечаем на вопрос задачи: площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Урок № 4. Тема: «Сумма n-первых членов геометрической прогрессии» (9 класс)

Учитель начинает урок с индийской легенды об изобретателе шахмат.

Рассказывают, что индийский царь Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, и так до 64 клетки. Царь приказал немедленно выдать столь «ничтожную» по его мнению, награду, взяв зерно из кладовых дворца. Каково же было его удивление, когда на следующее утро он узнал, что в кладовых дворца нет требуемого количества зерен. Не оказалось его и во всем царстве Шерама! А мудрецы, которым царь велел исчислить требуемое количество зерен, утверждали, что если бы удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять Шерам смог бы рассчитаться с просителем. Как вы считает – стоило ли ему смеяться?

Какое же количество зерен потребовал изобретатель шахмат? Попробуйте и вы ответить на этот вопрос! (Учащимся дается 5 минут на решение задачи.)

Побуждающий диалог:

• Вы смогли выполнить задание? В чем затруднение? – Нет. Очень долго считать.

• Давайте «переведем» содержание задачи на язык математики, чтобы понять какую формулу мы хотим получить. – Число зерен, которые потребовал мудрец за каждую клетку, образуют геометрическую прогрессию, в которой всего 64 члена (по числу клеток шахматной доски), первый член равен 1, а знаменатель 2. Нужно найти сумму n-первых членов.

• Какова же тема урока? - Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

На доске появляется тема урока и условие задачи.

Дано: (b ) – геометрическая прогрессия,

b = 1, b = 2 , q = 2, n = 64

Найти: S

Далее учащиеся под руководством учителя выводят формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.