Рабочая программа по математике 11 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гиагинского района «Средняя общеобразовательная школа №8 имени В.Солдатенко»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по математике

Уровень общего образования:

среднее общее образование: 11 класс

Учитель Сафина Лариса Михайловна

Ст.Келермесская

2022-2023 учебный год

Пояснительная записка

Рабочая программа по математике для 11 класса составлена на основе авторских программ Ю.М. Колягина, М.В. Ткачёвой, Н.Е. Фёдоровой, М.И. Шабунина «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» и Л.С.Атанасяна, В.Ф.Бутузова, С.Б.Кадомцева и др. «Геометрия. 10-11 класс» и ориентирована на учебники «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин, — М.: Просвещение и учебник «Геометрия. 10-11 класс» / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. — М.: Просвещение.

Планируемые предметные результаты

Тригонометрические функции

Обучающийся научится:

• находить область определения и множество значений тригонометрических функций;

• определять, является ли функция четной или нечётной, используя определения и свойства чётных и нечётных функций;

• доказывать, что данное положительное число есть период функции;

• выполнять построение графиков тригонометрических функций различного уровня сложности.

Обучающийся получит возможность научиться:

• решать тригонометрические уравнения и неравенства на заданных промежутках, используя графики тригонометрических функций;

• выполнять преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;

выполнять графическое решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Производная и её геометрический смысл

Обучающийся научится:

• вычислять значения пределов последовательностей и функций, используя теоремы об арифметических действиях над пределами;

• вычислять производные элементарных функций простого и сложного аргументов;

• находить производные любой комбинации элементарных функций.

Обучающийся получит возможность научиться:

• составлять уравнение касательной к графику функции;

• находить угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками;

• по графику функции и касательной к графику определять значение производной в точке касания;

• по графику производной функции определять количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней;

• по графику функции определять в какой из указанных точек производная наименьшая.

Применение производной к исследованию функций

Обучающийся научится:

• находить промежутки монотонности функции, точки экстремума и экстремумы функции, наибольшее значение непрерывной функции на отрезке, а также на интервале, содержащем единственную точку экстремума;

• по графику функции определять количество целых точек, в которых производная положительна (отрицательна);

• по графику функции определять в скольких из указанных точек, в которых производная положительна (отрицательна);

• по графику функции определять количество точек, в которых производная равна нулю;

• по графику производной функции определять количество целых точек, входящих в промежутки возрастания (убывания) функции;

• по графику производной функции определять длину наибольшего (наименьшего) промежутка возрастания (убывания) функции;

• по графику производной функции определять в скольких из указанные точек функция возрастает (убывает).

Обучающийся получит возможность научиться:

• по графику функции определять количество точек, в которых касательная параллельна прямой вида или совпадает с ней;

• по графику функции определять сумму точек экстремума;

• по графику производной функции определять количество точек максимума (минимума) функции;

• по графику производной функции определять точку, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение;

• определять промежутки выпуклости функции, точки перегиба;

• выполнять построение графиков функции с помощью производной;

• решать задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения физических величин, а также геометрического содержания.

Интеграл

Обучающийся научится:

• доказывать, что заданная функция есть первообразная функции ;

• по графику одной из первообразной определять количество точек, в которых функция равна нулю;

• находить первообразные функций, используя таблицу первообразных и правила нахождения первообразных;

• находить первообразную для данной функции, если график искомой первообразной проходит через заданную точку;

• вычислять неопределённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница;

• находить площадь криволинейной трапеции.

Обучающийся получит возможность научиться:

• по графику функции находить разность первообразных в указанных точках;

• находить площади фигур, ограниченных линиями с помощью определённого интеграла;

• решать простейшие физические задачи с помощью определённого интеграла.

Комбинаторика

Обучающийся научится:

• находить размещения без повторения, перестановки, сочетания, размещения с повторениями;

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул, треугольника Паскаля; вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля.

Обучающийся получит возможность научиться:

• применять элементы комбинаторики для составления упорядоченных множеств и подмножеств данного множества.

Элементы теории вероятностей

Обучающийся научится:

• вычислять вероятность события, используя классическое определение вероятности, методы комбинаторики, вероятность суммы событий;

• применять формулу Бернулли.

Обучающийся получит возможность научиться:

• решать задачи на вычисление вероятности совместного появления независимых событий, вероятности произведения независимых событий или событий, независимых в совокупности.

Комплексные числа

Обучающийся научится:

• находить действительную и мнимую части, модуль и аргумент комплексного числа, записанного в алгебраической форме;

• выполнять действия сложения, вычитания, умножения, деления комплексных чисел, записанных в алгебраической форме;

• записывать комплексные числа в тригонометрической форме;

• выполнять действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

Обучающийся получит возможность научиться:

• изображать комплексные числа на комплексной плоскости;

• решать простейшие задачи на нахождение на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих заданному условию;

• решать простейшие квадратные уравнения с комплексным неизвестным.

Уравнения и неравенства

Обучающийся научится:

• изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

• находить площади фигур, ограниченных линиями, составляя систему.

Обучающийся получит возможность научиться:

• находить значения параметра, при котором уравнение, система уравнений не имеет решений, имеет одно, два решения;

• применять различные приемы для решения уравнений и неравенств с двумя переменными, содержащими параметры.

Геометрия

Обучающийся научится:

• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

• анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

• изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Обучающийся получит возможность научиться:

• заниматься исследованием (моделированием) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;

• заниматься вычислением объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Содержание учебного предмета

Повторение курса алгебры 10 класса (3 ч)

1. Тригонометрические функции (19 ч)

Область определения и множество значений тригономет­рических функций. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Свойства функции у = cosх: и ее график. Свойства функции у = sinх; и ее график. Свой­ства функции у = tgx и ее график. Обратные тригонометри­ческие функции.

Основная цель — изучить свойства тригонометри­ческих функций, научить учащихся применять эти свойства при решении уравнений и неравенств; обобщить и сис­тематизировать знания об исследовании функций эле­ментарными методами, научить строить графики тригонометрических функций, используя различные приемы построения графиков.

Среди тригонометрических формул следует особо вы­делить те формулы, которые непосредственно относятся к исследованию тригонометрических функции и построению их графиков. Так, формулы sin(-х) = -sin х и cos(-x) = cos х выражают свойства нечетности и четности функций у = sin х и у = cos х соответственно.

На профильном уровне продолжается изучение свойств элементарных функций методами элементарной мате­матики; решаются задачи разного уровня сложности на нахождение области определения и множества значений сложных функций.

На углубленном уровне рассматриваются доказатель­ства утверждений, являющихся отрицанием факта огра­ниченности функции, периодичности и пр. Логическая структура этих доказательств специально не обсужда­ется. Приведенные примеры рассуждений в задачах позво­ляют провести их анализ и направить в нужное русло по­иск учащихся при самостоятельном выполнении упраж­нений.

Построение графиков тригонометрических функций проводится с использованием их свойств и начинается с по­строение графика функции у = cosх.

С помощью графиков тригонометрических функций ре­шаются простейшие тригонометрические уравнения и не­равенства.

На базовом уровне обратные тригонометрические функ­ции даются в ознакомительном плане. Рекомендуется так­же рассмотреть графики функций у = |cosх|, у = а + cosх , у = cos (х + а),

у = acos х, у = cos ах, где а — некоторое число.

На профильном уровне обратные тригонометрические функции изучаются после повторения понятия\взаимно обратных функций. Применение свойств обратных три­гонометрических функций рассматривается на конкрет­ных примерах.

В ходе изучения темы особое внимание уделяется ис­следованию функций и построению графиков методами элементарной математики. Таким образом, при изуче­нии данного раздела происходит как обобщение и систе­матизация знаний учащихся об элементарных функциях и их исследовании методами элементарной математи­ки, так и подготовка к восприятию элементов матема­тического анализа.

2. Производная и ее геометрический смысл (19 ч)

Предел последовательности. Предел функции. Непре­рывность функции. Определение производной. Правила дифференцирования. Производная степенной функции. Производные элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Основная цель — ввести понятие предела последо­вательности, предела функции, производной; научить на­водить производные с помощью формул дифференцирова­ния; научить находить уравнение касательной к графику; функции, решать практические задачи на применение понятия производной.

На базовом уровне изложение материала ведется на на­глядно-интуитивном уровне: многие формулы не доказыва­ется, а только поясняются или принимаются без доказательств. Главное — показать учащимся целесообразность, изучения производной и в дальнейшем первообразной (интеграла), так как это необходимо при решении многих практических задач, связанных с исследованием физиче­ских явлений, вычислением площадей криволинейных фи­гур и объемов тел с произвольными границами, с построени­ем графиков функций. Прежде всего следует показать, что функции, графиками которых являются кривые, описыва­ют многие важные физические и технические процессу.

На профильном уровне учащиеся знакомятся со стро­гими определениями предела, последовательности, преде­ла функции, непрерывности функции. Правила дифферен­цирования и формулы производных элементарных функ­ций доказываются строго.

Достаточно подробное изучение теории пределов число­вых последовательностей учащимися профильных классов не просто готовит их к восприятию сложного понятия предела функции в точке, но развивает многие качества мыслительной деятельности учащихся.

3. Применение производной к исследованию функций (16 ч)

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функ­ции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба. Построение графиков функций.

Основная цель — показать возможности производ­ной в исследовании свойств функций и построении их гра­фиков.

При изучении материала широко используются знания, полученные учащимися в ходе работы над предыдущей темой.

Обосновываются утверждения о зависимости возраста­ния и убывания функции от знака ее производной на дан­ном промежутке. Вводятся понятия точек максимума и минимума, точек перегиба. Учащиеся знакомятся с новы­ми терминами: критические и стационарные точки.

После введения понятий максимума и минимума функ­ции формируется представление о том, что функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производ­ной, например, у = |х| в точке х = 0.

Определение вида экстремума предполагается связать с переменой знака производной функции при переходе че­рез точку экстремума. Необходимо показать учащимся не только профильных классов, что это можно сделать про­ще — по знаку второй производной: если f"(x) 0 в неко­торой стационарной точке х, то рассматриваемая стацио­нарная точка есть точка минимума; если f"(x) f"(x) = 0, то точка х есть точка перегиба.

Приводится схема исследования основных свойств функ­ции, предваряющая построение графика. В классах базово­го уровня эта схема выглядит так:

1) область определения функции;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) производная функции и стационарные точки;

4) проме­жутки монотонности;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

На профильном уровне (после изучения второй про­изводной) схема исследования функции выглядит так:

1) область определения функции; четность (нечетность); периодичность;

2) нули функции; промежутки знако-постоянства;

3) асимптоты графика функции;

4) первёя производная; критические точки; промежутки монотон­ности; экстремумы;

5) вторая производная; промежутки выпуклости, направления выпуклостей и точки перегиба.

4. Первообразная и интеграл (15 ч)

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычис­ление. Вычисление площадей фигур с помощью интегра­лов. Применение интегралов для решения физических за­дач. Простейшие дифференциальные уравнения.

Основная цель — ознакомить с понятием интеграла и интегрированием как операцией, обратной дифференци­рованию; научить находить площадь криволинейной тра­пеции, решать простейшие физические задачи с помощью интеграла.

Операция интегрирования сначала определяется как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом не вводится ни определе­ние неопределенного интеграла, ни его обозначение. Табли­ца правил интегрирования (т. е. таблица первообразных) в этом случае естественно получается из таблицы производ­ных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции f(x) имеют вид F(x) + С, где F(x) — первооб­разная, найденная в таблице. Этот факт не доказывается, а только поясняется.

Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона — Лейбни­ца. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы; при этом формула Ньютона — Лейбни­ца также оказывается справедливой. Таким образом, эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы и находятся площади криволи­нейных трапеций.

На профильном уровне учащиеся знакомятся с задачами на нахождение пути по заданной скорости, на вычис­ление работы переменной силы, задачами о размножении бактерий и о радиоактивном распаде более подробно, чем школьники классов базового уровня, и учатся решать простейшие дифференциальные уравнения.

5. Комбинаторика (9 ч)

Математическая индукция. Правило произведения. Размещения с повторениями. Перестановки. Размещения без повторений. Сочетания без повторений и бином Ньютона.

Основная цель — развить комбинаторное мышле­ние учащихся; ознакомить с теорией соединений (как са­мостоятельным разделом математики и в дальнейшем — с аппаратом решения ряда вероятностных задач); обосно­вать формулу бинома Ньютона (с которой учащиеся лишь ' знакомились в курсе 10 класса).

Основными задачами комбинаторики считаются сле­дующие: 1) составление упорядоченных множеств (образо­вание перестановок); 2) составление подмножеств данного множества (образование сочетаний); 3) составление упоря­доченных подмножеств данного множества (образование размещений).

Из всего многообразия вопросов, которыми занимается комбинаторика, в содержание образования старшей школы сегодня включается лишь теория соединений — комбина­торных конфигураций, которые называются перестановка­ми, размещениями и сочетаниями. Причем обязательными для изучения являются лишь соединения без повторе­ний — соединения, составляемые по определенным прави­лам из различных элементов.

Теория соединений с повторениями не является обяза­тельной для изучения даже на профильном уровне, тем не менее, полезно ввести понятие хотя бы размещений с повторениями, так как задачи на подсчет числа этих размещений рассматриваются уже на первых уроках при решении задач на применение правила произведения.

Знакомство с остальными соединениями с повторе­ниями может быть рассмотрено с учащимися профиль­ных классов при наличии времени. Доказательство же справедливости формул для подсчета числа перестано­вок с повторениями и числа сочетаний с повторениями следует рассматривать только при углубленном изуче­нии с учащимися, усвоившими применение метода математической индукции.

Дополнительной мотивацией рассмотрения, напри­мер, перестановок с повторениями является то, что би­номиальные коэффициенты есть не что иное, как пере­становки с повторениями. Поэтому учащиеся, знакомые с понятием перестановок с повторениями, легко воспри­нимают вывод формулы бинома Ньютона.

1. Элементы теории вероятностей (8 ч)

Вероятность события. Сложение вероятностей. Услов­ная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.

Основная цель — сформировать понятие вероятно­сти случайного независимого события; научить решать за­дачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности про­изведения двух независимых событий.

В программу включено изучение (частично на интуи­тивном уровне) лишь отдельных элементов теории вероят­ностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данно­го понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определя­ются и иллюстрируются операции над событиями.

Классическое определение вероятности события с рав- новозможными элементарными исходами формулируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбина­торики) решается большинство задач/Понятия геометри­ческой вероятности и статистической вероятности вводи­лись на интуитивном уровне в основной школе.

Независимость событий вводится достаточно строго (после определения понятия условной вероятности). Раз­бирается решение задачи на нахождение вероятности со­бытия В, состоящего в том, что при испытаниях на­блюдаемое событие А произойдет ровно k раз, после чего обосновывается формула Бернулли.

При изложении материала данного раздела подчеркива­ется прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.

1. Комплексные числа (13 ч)

Определение комплексных чисел. Сложение и умноже­ние комплексных чисел. Комплексно сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деле­ния. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умноже­ние и деление комплексных чисел, записанных в тригоно­метрической форме. Формула Муавра. Квадратное уравне­ние с комплексным неизвестным. Извлечение корня из , комплексного числа. Алгебраические уравнения.

Основная цель — научить представлять комплекс­ное число в алгебраической и тригонометрической формах; изображать число на комплексной плоскости; научить вы­полнять операции сложения,_t вычитания, умножения и де- ¹ ления чисел, записанных в алгебраической форме, операции умножения и деления чисел, представленных в тригоно­метрической форме.

На примере теории комплексных чисел старшеклассни- ¹ ки впервые (а, возможно, и вообще единственный раз) знакомятся со строгим построением теории чисел.

Комплексные числа вводятся либо как упорядоченная пара чисел, либо как выражение а + bi, где а и b — действи­тельные числа, i — некоторый символ, такой, что i² = -1. Затем формулируются правила, устанавливающие равенст­во комплексных чисел, вводятся числа, соответствующие при­вычным для школьников нулю и единице, изучаются пра­вила арифметических действий над комплексными числами.

Тригонометрическая интерпретация комплексного чис­ла позволяет решать алгебраические уравнения (в частно­сти, квадратные) в поле комплексных чисел и осознанно воспринимать основную теорему алгебры, которая форму­лируется в конце темы.

8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа (Уравнения и неравенства. Задачи с параметром) (21 ч)

Методы решения уравнений с одним неизвестным. Приёмы решения уравнений с двумя неизвестными. Неравенства, системы и совокупности неравенств с одним неизвестным. Методы их решения. Способы и методы решения систем уравнений с двумя неизвестными. Изображение на координатной плоскости решений неравенств и систем неравенств с двумя неизвестными. Подходы к решению задач с параметром.

Основная цель — обучить приемам решения урав­нений, неравенств и систем уравнений и неравенств с дву­мя переменными.

Изображение множества точек, являющегося решением уравнения первой степени с двумя неизвестными, не ново для учащихся старших классов. Решение систем уравне­ний с помощью графика знакомо школьникам с основной колы. Теперь им предстоит углубить знания, полученные ранее, и ознакомиться с решением неравенств с двумя пе­ременными и их систем.

Учебный материал этой темы построен так, что учащие­ся постигают его в ходе решения конкретных задач, а за­тем происходит обобщение изученных примеров. Сначала рассматриваются уравнения с двумя переменными, линей­ные или нелинейные, затем неравенства и, наконец, систе­мы уравнений и неравенств. Изучением этой темы подводится итог известным учащимся методам решения уравнений и неравенств. Рассмариваются методы, с которыми они ранее знакомы не были, но знания, кот

Геометрия

Координаты и векторы (15ч)

Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

Векторы. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Длина вектора в координатах, угол между векторами в координатах. Коллинеарные векторы, коллинеарность векторов в координатах.

Тела и поверхности вращения (14ч)

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения, касательная плоскость к сфере.

Объемы тел и площади их поверхностей (22ч)

Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.

Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Повторение курса стереометрии 10-11 классов (17 ч)

Итоговое повторение курса математики (13ч)

Календарно-тематическое планирование по математике для 11 класса

на 2022-2023 учебный год