Решение неравенств с одной переменной

В учении нельзя

останавливаться

Сюньцзы

Историческая справка

• Понятиями неравенства пользовались уже древние греки.
• Например , Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа «пи».
• Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид . Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического .

Историческая справка

• Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв.

• В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства , употребляемые и поныне.

• Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром . 

Неравенства

Скажите мне, какая математика без них?

О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

Неравенства такая штука – без правил не решить!

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

3 при х = 4 5 • 4 – 11 3; 9 3 – верно; при х = 2 5 • 2 – 11 3, - 1 3 – неверно; Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. " width="640"

Рассмотрим неравенство 5х – 11 3

• при х = 4 5 • 4 – 11 3; 9 3 – верно;
• при х = 2 5 • 2 – 11 3, - 1 3 – неверно;

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

3 ? Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет. " width="640"

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

• Являются ли числа 2; 0,2 решением неравенства:

а) 2х – 1

б) - 4х + 5 3 ?

Решить неравенство – значит найти все

его решения или доказать, что их нет.

0 и равносильны х 3 х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 нет решений 3х – 6 ≥ 0 и 2х 8 неравносильны х ≥ 2 х 4 " width="640"

Равносильные неравенства

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными

2х – 6 0 и равносильны х 3

х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 нет решений

3х – 6 ≥ 0 и 2х 8 неравносильны

х ≥ 2 х 4

При решении неравенств используются следующие свойства:

• Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком , то получится равносильное ему неравенство.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число , то получится равносильное ему неравенство;
• если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число , изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

На примерах учимся

Федр

2(х + 2) + х + 5. Раскроем скобки приведём подобные слагаемые: Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а в правой - без переменной: Приведём подобные слагаемые: Разделим обе части неравенства на положительное число 3, сохраняя при этом знак неравенства: 6х – 3 2х + 4 + х + 5 6х – 3 3х + 9 6х – 3х 9 + 3 3х 12 х 4 4 х Ответ: (4; + ∞) " width="640"

Пример 1 . Решим неравенство 3(2х – 1) 2(х + 2) + х + 5.

• Раскроем скобки

приведём подобные слагаемые:

• Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой - без переменной:

• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства:

6х – 3 2х + 4 + х + 5

6х – 3 3х + 9

6х – 3х 9 + 3

3х 12

х 4

4 х

Ответ: (4; + ∞)

2. Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: Приведём подобные слагаемые: Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный: - 2 • 6 2х – 3х 12 - х 12 х - 12 х Ответ:( - ∞; -12) " width="640"

Пример 2. Решим неравенство 2.

• Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6:
• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный:

• - 2 • 6
• 2х – 3х 12
• - х 12
• х

- 12 х

Ответ:( - ∞; -12)

b или ах , где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной. 5х ≤ 15, 3х 12, - х 12 Решения неравенств ах b или ах при а = 0. Пример 1 . 0 • х Пример 2. 0 • х Линейное неравенство вида 0 • х или 0 • х b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений , либо его решением является любое число . Ответ: х – любое число. Ответ: нет решений . " width="640"

Неравенства вида ах b или ах , где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

• 5х ≤ 15, 3х 12, - х 12

• Решения неравенств ах b или ах при а = 0.

Пример 1 . 0 • х

Пример 2. 0 • х

• Линейное неравенство вида 0 • х или 0 • х b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений , либо его решением является любое число .

Ответ: х – любое число.

Ответ: нет решений .

Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной .

• Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
• Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки.
• Привести подобные слагаемые.
• Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.
• Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.
• Записать ответ в виде числового промежутка.

- 12 х ≥ 0 х ≤ - 4 1) – 2х 2) – 2х 6 3) – 2х ≤ 6 х - 2 х х ≥ - 3 Знак изменится , когда неравенств обе части Делить на с минусом число " width="640"

Устные упражнения

Решите неравенство:

4) – х

5) – х ≤ 0

6) – х ≥ 4

х - 12

х ≥ 0

х ≤ - 4

1) – 2х

2) – 2х 6

3) – 2х ≤ 6

х - 2

х

х ≥ - 3

Знак изменится , когда неравенств обе части

Делить на с минусом число

- 5 5) 0 • х ≤ 0 х - любое число 6) 0 • x 0 " width="640"

Устные упражнения

• Найдите решение неравенств:

1) 0 • х

2) 0 • x не имеет решений

3) 0 • х ≥ 6

4) 0 • х - 5

5) 0 • х ≤ 0 х - любое число

6) 0 • x 0

Письменные упражнения

Выполните:

• № 836(а, б, в)
• № 840(д, е, ж, з)
• № 844(а, д)

Как приятно,

что ты что – то

узнал.

Мольер

Домашнее задание

• Изучить п.34(выучить определения, свойства и алгоритм решения).
• Выполнить

№ 835;

№ 836(д – м);

№ 841.